1、高二数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4本试卷主要考试内容：人教 A 版必修 5，选修 21，选修 22，选修 23 第一章占 70%，必修 1，2，3，4 占 30%。第卷一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合1Ax x，3230Bxxx，则 AB（）
2、A1,3B3,C31,2D2,32已知复数122izi，则 z （）A5B25C1D 53荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4饺子源于古代的角子，又称水饺，是深受人们喜爱的中国传统食品现盘子中有16 个饺子，其中肉馅的有6个，素馅的有10 个从外观无法分辨是肉馅还是素馅，现用筷子从中随机夹出2 个，则夹到的2 个饺子恰好1个是肉馅，另1个是素馅的概率是（）A 16B 15C 38D 125已知曲线e
3、xyx在点1,e 处的切线与曲线ln2yax在点1,2 处的切线平行，则a （）A1B2CeD2e6永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩 2008 年 7 月，永定土楼成功列入世界遗产名录它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼进行调查研究要求调查顺序中，圆形要排在第一个，五角形、八角形不能相邻，则不同的排法种数共有（）A480 B240 C384 D14407521xx展开式中的常数项为（）A120 B161 C1
4、80 D1568已知椭圆C：2222111xyab 110ab与双曲线 D：2222221xyab（20a，20b）具有共同的焦点1F，2F，离心率分别为1e，2e，且213ee 点 P 是椭圆C 和双曲线 D 的一个交点，且12PFPF，则2=e（）A 4 23B62C2D 3 34二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9已知函数 f x 在0,1 上单调递减，在1,上单调递增，则必有（）A23log 3log 2ffB 332.22.1ffC 2.22.10.20.2
5、ffDsin1cos1ff10已知向量1,ax，,4bx，则（）A当2x 时，/a bBaab的最小值为 5C当0 x 时，,2a bD当2a 时，3 2b 11若 22012111nnnxxxaax axax ，且121253naaan，则（）A7n B06a C0121254nnaaaaaD12323769naaana12已知函数 2131,0,32ln,0,axxxf xxxx x 若关于 x 的方程 0f xfx有 4 个不同的实数根，则实数a 的取值可以为（）A12B13C0D1第卷三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13写出一个定义
6、在R 上的函数 f x，使得 f x 的值域为1,3；且最小正周期为，则 f x _14如图，某几何体为四分之三个球，球的半径为20cm 若在该几何体的表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，则给100 个这样的几何体涂上涂料需要_kg 的涂料152020 年 11 月 15 日，东盟十国及中国、日本韩国、澳大利亚新西兰正式签署了区域全面经济伙伴关系协定某自媒体准备从这15 个国家中选取4 个国家介绍其经济贸易情况，则东盟国家及非东盟国家至少各有1个被选取的方法数为_16抛物线C：22ypx0p 的准线为l，过焦点 F 的直线与C 相交于 A，B 两点，分别过 A，B 作准线l 的垂线
7、，垂足分别为 A，B，AFA与BFB的面积分别为1S，2S，且124SS，则AFB的面积为_四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列 na的前n 项和为nS，且540S，25a（1）求 na的通项公式；（2）若数列nSkn的前 20 项和为 365，求常数k 的值18在ABC中，90ACB，30ABC，2AC，D 为 BC 的中点，E 在线段 AB 上（1）若BDE的面积为34，求cosCED；（2）当CDE的周长最小时，求 AEBE192020 年，面对突如其来的新冠肺炎疫情冲击，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展
8、取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展某主打线上零售产品的企业随机抽取了50 名销售员，统计了其 2020 年的月均销售额（单位：万元），将数据按照12,14，14,16，22,24 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图已知14,16 组的频数比12,14 组多 4（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外的奖励若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值20如图，在五棱锥 SABCDE中，SD 底面 ABCDE，/
9、SD BG，S，G 在底面的同侧在五边形 ABCDE中，/AB CD，ABAD，22SDCDADAB，2DEAE，AD 是ADE外接圆的直径（1）证明：/GC平面 SED（2）若二面角 SACG的余弦值为 13，求 BG 21如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点已知椭圆C：22221xyab 0ab的左、右焦点分别为1F，2F，左、右顶点分别为 A，B，一光线从点11,0F 射入经椭圆C 上 P 点反射，法线（与椭圆C 在 P 处的切线垂直的直线）与 x 轴交于点Q，已知11PF ，112FQ（1）求椭圆C 的方程（2）过2F 的直
10、线与椭圆C 交于 M，N 两点（均不与 A，B 重合），直线 MB 与直线4x 交于G 点，证明：A，N，G 三点共线22已知函数 22ln3f xxaxx（1）讨论 f x 的单调性（2）若对任意的1,2a，总存在1x，2x，使得 120f xf x，证明：124xx高二数学参考答案1A因为2,33B，所以1,3AB2C因为122124322255iiiziiii，所以1z 3B荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件4D所求概11106216CC1C2P5D由exyx，得e1xyx，所以该曲线在点1,e 处的切线斜率为2ek 由ln2
11、yax，得ayx，所以该曲线在点1,2 处的切线斜率为ka因为两切线平行，所以2ea 6A因为圆形排在第一个，五角形、八角形不能相邻，所以采用插空法其他四个图形全排列有44A24种排法，然后把五角形、八角形进行插空，有25A20种不同的排法，则共有4245A A480种不同的排法7 B可视为5 个21xx相乘，求其常数项，按照分类加法和分多乘法原理进行求解情形一：该5 个代数式都提供1，则此时常数项为5 55C 11；情形二：该5 个代数式中1个提供 x，1个提供 2x，3 个提供1，此时常数项为1111335432CCC 140 xx；情形三：该5 个代数式中2 个提供 x，2 个提供 2x
12、，1个提供1，此时常数项为2222115312CCC120 xxx综合三种情形可知，其常数项为1 40 1201618C设11PFr，22PFr在椭圆C 中，2222212121 211 22222crrrrrrarr，所以2221 2112444rracb在双曲线 D 中，2222212121 221 22222crrrrrrarr，所以2221 2222444rrcab，所以2221bb，即222221acca，得222212aac，即2221112ee因为213ee，所以2222132ee，解得22e 9BC因为23log 3 1log 20，所以23log 3log 2ff未必成立因为
13、332.22.11，2.22.100.20.21，1sin1cos10，所以 332.22.1ff，2.22.10.20.2ff，sin1cos1ff10AC易知，当2x 时a、b 同向，所以 A 正确因为225212151244aabxxx ，所以 B 错误当0 x 时，0a b，则,2a b，所以 C 正确当2a 时，23x 则19b，所以 D 错误11AD令1x，可得23101212 1 22222221 2nnnnnaaaaa，令0 x，得0an 因为1nx的展开式中nx 的系数为C1nn，所以1na 由，得1122123nnnn 因为121253naaan，所以123253nnn ，
14、得7n 故 A 正确因为07a，所以 B 错误因为所有项系数和为822254，所以 C 正确因为 267267012671111xxxxaa xa xa xa x，所以256256123671 2 13 16 17 12367xxxxaa xa xa xa x，令1x，则256123671 2 23 26 27 22367769aaaaa ，故 D 正确12AB 构造函数 g xf xfx，题可知 g x 的定义域为,00,，且 g xgx，即 g x 是偶函数，故关于 x 的方程 0f xfx有 4 个不同的实数根等价于 g x 在0,上有两个零点当0 x 时，212ln213ag xxxx
15、x，则 0g x 等价于2212 ln23axxxxx，令 2312 ln23h xxxxxx，则 22ln43h xxx x令 22ln43xxxx，则 2xx240 x，故 x在区间0,上单调递增又 10，所以 h x 在区间0,1 上单调递减，在区间1,上单调递增，即 h x 在1x 处取得极小值且 213h 当0 x 时，0h x；当 x 时，h x ，故当203a时，关于 x 的方程 h xa在区间0,上有两个不同的实数根，即关于 x的方程 0f xfx有4 个不同的实数根1312sin 2x（答案不唯一）一般地，形如1 2sin 2x，12cos 2x都可以148因为该几何体的表面
16、积2223420201600cm4S，所以100 个这样的几何体的表面积为216 m，故共需要涂料8 kg151150从15 个国家中选取4 个国家，选取的4 个国家中，东盟国家及非东盟国家至少各有1个被选取的方法数为132231105105105C CC CC C1150164如图，设A AF，AFa，BFb，则AAa，BBb 因为18021802180AFABFB ，所以90AFABFB，所以 A FB F由余定理得2221 cosA Fa，2221 cosB Fb因为211sin2Sa，221sin2Sb，所以2211sinsin422ab，即222sin16a b，所以2222221s
17、in164A FBSA FB Fa b，故A FB的面积为4 17解：（1）设 na的公差为d，由题意可得1151040,5,adad解得12a，3d，故23131nann（2）由（1）知，2313122nnnnnS，所以312nSnn，所以数列nSkn的前 20 项和为2043 20 11203252036522kk，解得2k 18解：（1）在ABC中，因为90ACB，30ABC，2AC，所以4AB，3BDDC因为13sin3024BDESBD BE，所以1BE 因为2222cos301DEBDBEBD BE ，所以1BE 因为2222cos307CEBCBEBC BE，所以7CE 在CDE
18、中，由余弦定理得2225 7cos214CEDECDCEDCE DE（2）过C 作 AB 的垂线，垂足为 H，并延长使 HFCH，连接 DF 交 AB 于 E，此时CEDE取得最小值 DF，即CDE的周长最小在ABC中，因为3CH，所以2 3CF 在CDF中，因为2222cos609DFCFCDCF CD，所以3DF 因为222CDDFCF，所以 DFBC，所以/DE AC 因为 D 为 BC 的中点，所以 E 为 AB 的中点，故1AEBE 19解：（1）由题意得 0.120.140.100.0421,5025024,abba 解得0.03a，0.07b（2）设应该制定的月销售冲目标值为 x
19、 万元，则在频率分布直方图中 x 右边的面积为1 0.80.2最后一组的面积是04 20 080，最后两组的面积之和为010 20 04 20.28.因为0.080.20.28，所以 x 位于倒数第二组，则220.100.080.2x，解得20 8x 所以该企业的月销售冲刺目标值应该定为 20.8 万元20（1）证明：过点 E 作 EFAD，垂足为 F 因为 AD 是ADE外接圆的直径，所以90AED 因为2DEAE，22SDCDADAB，所以45ED，25AE，45EF，85FD，25FA 由题意，可知 DA，DC，DS 两两垂直如图，以 D 为原点，以 DA 的方向为 x 轴的正方向，建立
20、空间直角坐标系 Dxyz，则 2,1,0B，0,2,0C，84,055E，所以2,1,0CB，84,055DE，所以45DECB，所以/DE CB因为/SD BG，CBBGB，所以平面/BCG平面 SED 因为GC 平面 BCG，所以/GC平面 SED 另外，本题还可取CD 的中点 M，连接 BM，AM，通过证明1tantan2EDADAM，得到/DE AM，而/AM BC，所以/DE BC 又/SD BG，BGBCB，则平面/BCG平面 SED，而GC 平面 BCG，故/GC平面 SED（2）解：设 BGt，由（1）知 2,0,0A，0,2,0C，2,1,Gt，0,0,2S，2,2,0AC
21、，0,1,AGt，2,0,2AS 设平面 AGC 的法向量为111,mx y z，则1111220,0,AC mxyAG mytz 令11z ，得,1mtt 取平面 ASC 的一个法向量1,1,1n，则21 21cos,31 1 121m ntm nm nt ，解得15t 或1t 当15t 时，二面角 SACG为钝角，舍去，所以1t 即1BG 21（1）解：由椭圆的定义知122PFPFa，则221PFa 由光学性质可知 PQ 是12FPF的角平分线，所以1212PFPFFQF Q因为1c ，所以 12111222a，得2a，从而3b，故椭圆C 的方程为22143xy（2）证明：设直线 MN 的
22、方程为1xmy，11,M x y，22,N xy，联立方程组221,1,43xmyxy得2234690mymy，则122634myym，122934y ym 因为直线 MB 的方程为1122yyxx，所以令4x，得1124,2yGx因为222,ANxy，1126,2yAGx，所以21121212122111612346262211ymyy mymy yyyyyxxmymy2219646343401mmmmmy，所以/ANAG 因为 AN 与 AG 有一个公共点 A，所以 A，N，G 三点共线22（1）解：22222xaxfxxaxx当2160a，即 44a 时，0fx，所以 f x 在0,上单
23、调递增当2160a，即4a 或4a 时，令2220 xax，得2164aax，当4a 时，两根均为负数，则 0fx，所以 f x 在0,上单调递增；当4a 时，两根均为正数，所以 f x 在2160,4aa，216,4aa上单调递增，在221616,44aaaa上单调递减综上所述，当4a 时，f x 在0,上单调递增；当4a 时，f x 在2160,4aa，216,4aa上单调增，在221616,44aaaa上单调递减（2）证明：因为 120f xf x，所以221112222ln32ln30 xaxxxaxx ，整理得221212122ln2ln60 xxa xxxx即212121212622lnxxa xxx xx x令 22lng xxx，则 2122xgxxx，所以 g x 在0,1 上单调递减，在1,上单调递增，所以 12g xg，即121222ln2x xx x因为2121262xxa xx，所以2121280 xxa xx 因为 212128h axxa xx在1,2a上单调递减，所以 212122280hxxxx，即1212420 xxxx因为1x，20 x，所以124xx