1、第三章 三角函数与解三角形 第1讲 弧度制与任意角的三角函数 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角是按逆时针方向旋转形成的；负角是按_方向旋转形成的；一条射线没有作任何旋转，我们称它为零角.顺时针2.终边相同的角终边与角相同的角，可写成 S|k360，kZ.3.弧度制 (1)长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.(2)用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.(3)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的
2、弧度数为零.角的弧度数的绝对值|_(其中 l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 是圆的半径).(4)弧度与角度的换算：180 rad；1 180 rad0.017 45 rad；1 rad180 57.305718.lr4.弧长公式和扇形面积公式 (1)在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为 l|r；S_.S12lr.(2)在角度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为 lnr180；nr23605.任意角的三角函数的定义 设是一个任意角，角的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点的距离是 r(r0)，那么(1)比值yr叫做 的正弦，记作 sin，即 sin yr；(2)比值xr叫做 的余弦，记
3、作 cos，即 cos xr；(3)比值yx叫做 的正切，记作 tan，即 tan _.yx6.三角函数值在各象限的符号三角函数线余弦线OM正弦线MP正切线AT7.三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴于点 M，则点 M是点 P 在 x 轴上的正射影.)1.下列各命题正确的是(A.终边相同的角一定相等CCB.第一象限角都是锐角C.锐角都是第一象限角D.小于 90 度的角都是锐角2.若 sin 0，则是()A.第一象限角C.第三象限角B.第二象限角D.第四象限角)3.(2016 年江西模拟)下列说法中，正确的是(B.
4、第一象限的角不可能是负角C.终边相同的两个角的差是 360的整数倍D.若是第一象限角，则 2是第二象限角A.小于2的角是锐角它们都不是锐角，A 选项错误；300角的终边就落在第一象限，B 选项错误；与角终边相同的角都可以写成k360(kZ)的形式，其差显然是 360的整数倍，C 选项正确；若是第一象限角，则 k360k36090(kZ).所以 2k36020，a1.故选 A.考点 3 三角函数的符号例 3：若 是第二象限角，试分别确定 2，2，3的终边所在位置.45k180290k180(kZ)，是第二象限角，90k360180k360(kZ).1802k36023602k360(kZ)，故2
5、是第三或第四象限角，或2的终边在y轴的非正半轴上.解：当 k2n(nZ)时，45n360290n360(nZ)；当 k2n1(nZ)时，225n3602270n360(nZ).2是第一或第三象限角.30k120360k120(kZ)，当 k3n(nZ)时，30n360360n360(nZ)；当 k3n1(nZ)时，150n3603180n360(nZ)；当 k3n2(nZ)时，270n3603300n360(nZ).3是第一或第二或第四象限角.【规律方法】已知 所在象限，求n(n2，nN)所在象限：(1)由 所在象限，确定n所在象限的方法.由 的范围，求出n的范围；通过分类讨论把角写成 k36
6、0的形式，然后判断n所在象限.画出区域：将坐标系每个象限二等分，得 8 个区域；标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上一，二，三，四(如图3-1-1)；确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求.图 3-1-1图 3-1-2(2)由 所在象限，确定2所在象限，也可用如下方法判断：画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到 12 个区域；标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上一，二，三，四(如图 3-1-2)：确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求.(3)由 所在象限，确定3所在象限，也可用如下方法判断：【互动探究】4.下列各式中，计算结果为正数的是()A.t
7、an 188sin 275 B.tan 100cos 301C.sin 76 cos 35 tan 54D.sin 65 tan 116cos23 答案：C解析：选项 A，tan 1880，sin 2750，tan 188sin 2750.选项 B，tan 1000，cos 3010，tan 100cos 3100.选项 C，sin 76 0，cos 35 0，sin 76 cos 35 tan 54 0.选项 D，sin 65 0，tan 116 0，cos23 0，r0，即42r0，r0.解得 0r0).即当2 rad 时，扇形周长 C 最小，且最小值为 8.由 S12lr，得 l2Sr
8、8r.扇形周长 C2rl2r8r2 2r8r8，当且仅当 2r8r，即 r2 时，等号成立，即周长 C 有最小值 8.此时 l8r4，lr422 rad.【规律方法】(1)自变量是线(线段或曲线)的长度时，求函数的定义域的基本方法是所有的线的长度均为正数.应用扇形的面积公式 S12rl，其中 l 表示扇形的弧长.(2)扇形的周长为定值，扇形的面积 Sr22r，利用二次函数求最值；扇形的面积为定值，扇形的周长 C2r8r，利用基本不等式求最值.【互动探究】6.周长为 20 cm 的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积.解：设扇形半径为 r，弧长为 l，则 l2r20.l202r
9、.S12rl12(202r)r(10r)r.当 r5 时，S 取得最大值.此时 l10.设卷成圆锥的底面半径为 R，则 2R10.R5.圆锥的高 h52525 21.V13R2h3525 21125 2132.难点突破 三角函数线的应用图 3-1-4例题：(2018 年北京)在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH 是圆 x2y21 上的四段弧(如图 3-1-4)，点P 在其中一段弧上，角 以 Ox 为始边，OP 为终边，若 tan cos sin，故 A，B 错误；当在第三象限时，显然有 tan 0，cos 0，sin 0，故 D 错误.故选 C.方法二，P 所在的圆弧是AB，CD，EF，
10、GH 的图象如图3-1-5，图 3-1-5ATtan，OMcos，MPsin.显然选 C.答案：C【互动探究】7.(2014 年新课标)如图 3-1-6，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M.将点 M 到直线OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，的图象大致为()图 3-1-6ACBD答案：B解析：由题意，知 f(x)|cos x|sin x，当 x0，2 时，f(x)cos xsin x12sin 2x；当 x2，时，f(x)cos xsin x12sin 2x.故选 B.