1、第三章 推理与证明2 数学证明1理解演绎推理的概念2掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理3了解合情推理与演绎推理的联系与区别阅读教材：2 数学证明，完成下列问题演绎推理1含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理2一般模式_是最常见的一种演绎推理形式三段论 三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理对特殊情况作出的判断S是P演绎推理推得结论一定正确吗？提示：一定正确“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”，此推理类型属于()A演绎推理 B类比推理C合情推理D归纳推理答案：A对三段论的理解将下列演绎推理写成三段
2、论的形式(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的底角，则AB；(3)函数y2x5的图像是一条直线解：(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分(结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)A，B是等腰三角形的底角，(小前提)AB(结论)(3)一次函数ykxb(k0)的图像是一条直线，(大前提)函数y2x5是一次函数，(小前提)函数y2x5的图像是一条直线(结论)【点评】三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般性道理，小前提提供特殊情况，两者结合起来
3、，体现一般原理与特殊情况的内在联系在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的1下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？(1)因为对数函数 ylogax 是增函数，(大前提)而 ylog13 x 是对数函数，(小前提)所以 ylog13 x 是增函数(结论)(2)因为过不共线的三点有且仅有一个平面，(大前提)而A，B，C为空间三点，(小前提)所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)(3)因为金属铜、铁、铝能够导电，(大前提)而金是金属，(小前提)所以金能够导电(结论)解：(1)推理形式是正确的，但大前提是错误的因为对数函数ylogax的单
4、调性与底数a的取值有关，若0a1，则ylogax为减函数，若a1，则ylogax为增函数，所以结论是错误的(2)推理形式是正确的，但小前提是错误的因为若A，B，C三点共线，则可确定无数个平面，只有不共线的三点才满足题意，所以推理的结论是错误的(3)推理形式是错误的，因为演绎推理是从一般到特殊的推理，而铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，此推理是特殊到特殊的推理而金能导电，所以推理的结论是正确的用三段论证明几何问题如图，四棱锥P ABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB 2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平
5、面EMN.图(1)证明：(1)证法一 如图(1)，取 PA 的中点 H，连接 EH，DH.因为 E 为 PB 的中点，所以 EHAB，EH12AB又 ABCD，CD12AB，所以 EHCD，EHCD所以四边形 DCEH 是平行四边形所以 CEDH.又 DH 平面 PAD，CE平面 PAD，所以 CE平面 PAD证法二 如图(2)，连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF12AB又 CD12AB，所以 AFCD图(2)又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形所以 CFAD又 CF平面 PAD，所以 CF平面 PAD因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA又 EF
6、平面 PAD，所以 EF平面 PAD因为 CFEFF，所以平面 CEF平面 PAD又 CE 平面 CEF，所以 CE平面 PAD(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNDC又ABDC，所以MNAB所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.【点评】在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提把一般性原理用于特殊情况，就可得到结论2如图，正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为a，D，E分别
7、为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1BAD；(2)求证：CE平面AB1D证明：(1)连接 A1D，DG，BD如图所示，三棱柱 ABC-A1B1C1是棱长均为 a 的正三棱柱，四边形 A1ABB1 为正方形A1BAB1.D 是 C1C 的中点，A1C1DBCDA1DBDG 为 A1B 的中点，A1BDG.又DGAB1G，A1B平面 AB1D又AD 平面 AB1D，A1BAD(2)连接 GE，EGA1A，GE平面 ABCDC平面 ABC，GEDCGEDC12a，四边形 GECD 为平行四边形CEDG.又CE平面 AB1D，DG 平面 AB1D，CE平面 AB1D已知定义域为
8、0,1的函数f(x)同时满足以下三个条件：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；当x10，x20，且x1x21时，有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立则称f(x)为“友谊函数”(1)若已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值；(2)证明函数g(x)2x1在区间0,1上是“友谊函数”用三段论证明代数问题(1)解：取x1x20，得f(0)f(0)f(0)，由f(0)0，得f(0)0.(2)证明：显然g(x)2x1在0,1上满足 g(x)0；g(1)1；若x10，x20，且x1x21，则有g(x1x2)g(x1)g(x2)2x1x21(2x11)(2x21)(2x11)(2x21)0.
9、故g(x)2x1满足“友谊函数”定义的三个条件所以g(x)2x1为“友谊函数”互动探究 在本例条件下，已知f(x)为“友谊函数”，且0 x1x21，求证：f(x1)f(x2)证明：因为0 x1x21，则0 x2x11，所以f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)【点评】在证明或推理过程中，对于大前提，有一些是我们早已熟悉的公理、定理、定义、性质、公式，这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需再重新指出因此，就会出现隐性三段论3已知an是各项均为正数的等差数列，lg a1，lg a2，lg a4成等差数列又 bn 1a2n(n1,2,3，)，证明：bn为等比数
10、列证明：lg a1，lg a2，lg a4 成等差数列，2lg a2lg a1lg a4，即 a22a1a4.设an的公差为 d，则(a1d)2a1(a13d)，从而 d(da1)0.若 d0，an为常数列，相应bn也是常数列，此时bn是首项为正数，公比为 1 的等比数列若 da10，则 a2na1(2n1)d2nd，bn 1a2n 12nd.这时bn是首项 b1 12d，公比为12的等比数列综上可知，bn为等比数列1演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理2合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式，二者的主要区别与联系如下表所示.+推理方式意义主要形式结论的真假合情推理认识世界、发现问题的基础归纳推理、类比推理不确定演绎推理证明命题、建立理论体系的基础三段论真点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(九)谢谢观看！