1、课后素养落实(五)空间中的平面与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件n0的点M构成的图形是()A圆B直线C平面D线段CM构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面2在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()ABCDD由题意知PA平面ABCD，所以与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确又因为菱形的对角线互相垂直，又AC为PC在平面ABCD内的射影且ACBD，由三垂线定理的逆定理知PCBD，故C正确3设(2，2，1)是平面的法向量，a(3，4，2)是直线l的方向向量，则直线l与平面的位置关系是()A平行或直线
2、在平面内B垂直C相交但不垂直D不能确定A(2，2，1)是平面的法向量，a(3，4，2)是直线l的方向向量，a6820，直线l与平面的位置关系是平行或直线在平面内4平面经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面的法向量可以是()A(1，0，1)B(1，0，1)C(0，1，1)D(1，1，0)D平面经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，(2，2，0)，(0，0，2)，设平面的一个法向量n(x，y，z)，则取x1，得(1，1，0)，平面的法向量可以是(1，1，0)5(多选题)已知平面内有一点M(1，1，2)，平面的一个法向量为n(6，3，6)，则下列
3、点中，在平面内的是()A(2，3，3)B(1，1，3)CD(2，2，3)AB设平面内一点P(x，y，z)，则(x1，y1，z2)n(6，3，6)是平面的法向量，n，即n6(x1)3(y1)6(z2)6x3y6z210把各选项代入上式可知A、B适合二、填空题6已知直线l平面，且直线l的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，则m_8直线l平面，直线l的方向向量与平面的法向量垂直，即21m120，m87在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(1，0，1)，若a(1，y，z)，且a为平面ABC的一个法向量，则yz_1(1，1，0)，(1，1，2)，a(1，y，z)为平面ABC的一个
4、法向量，a0，a0，1y0，1y2z0，联立解得y1，z0，yz18如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD，且PD1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是_垂直以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，平面PBC的一个法向量n(0，1，1)，n，n，EF平面PBC三、解答题9如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD求证：PABD证明如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO因为PBPC，所以P
5、OBC又平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，所以PO平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO在直角梯形ABCD中，由于ABBC2CD，易知RtABORtBCD，所以BEOOABDBADBCDBA90，即AOBD由三垂线定理，得PABD10如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF证明以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0)，B(0，0)，D(，0，0)，F(，1)，M所以，(0，1)，(，0)设n(x，y，z)是平面BDF的一个法向量，则n，n，所以取y1，得x1，z，则n(1，1，
6、)因为，所以n，得n与共线所以AM平面BDF1(多选题)给出下列命题，其中为真命题的是()A直线l的方向向量为a(1，1，2)，直线m的方向向量b，则l与m垂直B直线l的方向向量a(0，1，1)，平面的法向量n(1，1，1)，则lC平面，的法向量分别为n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，则D平面经过三点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，则ut1AD对于A，a(1，1，2)，b，ab121120，ab，直线l与m垂直，A正确；对于B，a(0，1，1)，n(1，1，1)，an011(1)(1)(1)0，an，l或l，B错误；对于C，n1(
7、0，1，3)，n2(1，0，2)，n1与n2不共线，不成立，C错误；对于D，A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，(1，1，1)，(1，1，0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，即则ut1，D正确故选A，D2(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则以下结论不正确的是()AEF至多与A1D，AC中的一个垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面ACD以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0
8、，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)，0，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC3设u，v分别是平面，的法向量，u(2，2，5)，当v(3，2，2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_u，v分别为平面，的法向量且u(2，2，5)，当v(3，2，2)时，uv64100，uv，即；当v(4，4，10)时，v2u，uv，即4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点若在棱AA1上取一点P，使得DP平面B1AE，此时AP的长为_以A为坐标原点，的方
9、向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)设ABa，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，E，B1(a，0，1)，故(a，0，1)，再设P(0，0，z0)，则(0，1，z0)设平面B1AE的法向量为n(x，y，z)，则取x1，得n要使DP平面B1AE，只要n，则有az00，解得z0又DP平面B1AE，存在点P，使得DP平面B1AE，此时AP九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，E为PC中点，点F在PB上，且PB平面DEF，连接BD，BE(1)证明
10、：DE平面PBC；(2)试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角；若不是，说明理由解(1)证明：因为PD平面ABCD，四边形ABCD为矩形，所以可建立以D为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示不妨令ADa，DPCDb，则D(0，0，0)，B(a，b，0)，C(0，b，0)，P(0，0，b)，E，(a，b，b)，(0，b，b)设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，则即解得令z1，则n(0，1，1)，所以n，所以n，则DE平面PBC(2)四面体DBEF是鳖臑因为，所以0，所以BED由(1)知DE平面PBC，因为EF平面PBE，所以FED因为PB平面DEF，所以BFEBFD，所以四面体DBEF是鳖臑