1、 理科数学参考答案第 1 页（共 5 页）昆 十 中 云天化中学 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C A D D C C D B D A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号 13 14 15 16 答案 2(2 2，8 3 (1)，三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）解：（）根据题意得2211(1)25nnnaaa，12nnaa，12nnaad，11a ，2d，21nan （5 分）（
2、）211(1)22nSnn nn，则21(1)nSn，+122112(1)1nnnbn nnnS S，123111111212231nnTaaaann122 111nnn （12 分）18.（本小题满分 12 分）解：（）填表如下：不合格 合格 优秀 合计 男 4 10 36 50 女 6 16 28 50 合计 10 26 64 100 222()100(14282236)252.706()()()()366450509n adbcKab cd ac bd，有 90%的把握认为成绩优秀与性别有关（6 分）2019 届“全程、高效”备考联盟摸底考试 理科数学参考答案第 2 页（共 5 页）（）
3、由题意知33 4XB，故0303311(0)C4464P X ，1213319(1)C4464P X ，21233127(2)C4464P X ，30333127(3)C4464P X ，X 的概率分布如下表：X 0 1 2 3 P 164 964 2764 2764 192727939()0123()364646464444E XE X或 （12 分）19.（本小题满分 12 分）（）证明：如图，由题意得 DFAB，DFAB，又90DAB，所以 ABFD 是矩形，从而 ABBF 异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90，所以 PABC 因为 PAAB，AB 与 BC 相交，所以 PA平面
4、ABCD，所以平面 PAD平面 ABCD，又 ABAD，平面 PAD 平面 ABCDAD，所以 AB平面 PAD，所以 ABPD 在PDC 中，因为 E，F 分别为 PC，CD 的中点，所以 EFPD，所以 ABEF 因为 EFBFF，所以 AB平面 BEF 因为 AB 在平面 PAB 内，所以平面 PAB平面 BEF（6 分）（）解：如图，以 A 为原点，以 AB，AD，AP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1 0 0)B，(0 2 0)D，(0 0)Pk，(2 2 0)C，所以1 1 2kE，所以(1 2 0)BD ，0 1 2kBE，设平面 CDB 的法向
5、量为1(0 0 1)n，平面 EBD 的法向量为2()nxyz，可得2(22)nkk，理科数学参考答案第 3 页（共 5 页）设二面角 EBDC的平面角为，直线 BC 与平面 BDE 的夹角为，则122222cos|cos|244nnkk ，所以2 55k 25(2 15)2 n，而(1 2 0)BC，22|2 2sin5|nBCnBC ，所以直线 BC 与平面 BDE 所成角的正弦值为 2 25（12 分）20.（本小题满分 12 分）解：（）2PC 的垂直平分线交1PC 于点 Q，2|PQQC，211112|4|2QCQCQCPQPCC C，动点 Q 的轨迹是以点1C，2C 为焦点的椭圆
6、设这个椭圆的标准方程是22221xyab，24a，22c，23b，椭圆的标准方程是22143xy （5 分）（）由（）知椭圆的方程为 C：22143xy，设11()A xy，22()B xy，由题意知 l 的斜率一定不为 0，故不妨设 l：1xmy，代入椭圆的方程中，整理得22(34)690mymy，显然0 由韦达定理有122634myym，122934y ym，假设存在点 M，使OMOAOB成立，则其充要条件为点 M 的坐标为1212()xxyy，点 M 在椭圆上，即221212()()143xxyy，整理得22221122121234346812xyxyx xy y 又 A，B 在椭圆上，
7、即22113412xy，22223412xy，故12123460 x xy y，将212121212(1)(1)()1x xmymym y ym yy 及代入，解得20m，120yy，122xx，即(2 0)M，l：1x （12 分）理科数学参考答案第 4 页（共 5 页）21.（本小题满分 12 分）（）解：()f x 的定义域为(0)，2()xafxx，当0a 时，2()0 xafxx恒成立，故()f x 在(0)，上为增函数；当0a 时，2()()()xaxaxafxxx，故()f x 在(0)a，上为减函数，在()a ，上为增函数（5 分）（）证明：当1a 时，21()ln2f xxx
8、，21()e22xg xx，令()()()eln2xh xf xg xx，故1()e0 xh xx，得1exx，容易知道该方程有唯一解，不妨设为0 x，则0 x 满足001exx，当 x 变化时，()g x和()g x 变化情况如下表：x 0(0)x，0 x 0()x，()h x 0+()h x 递减 递增 0min00001()()eln22xh xh xxxx，因为00 x，且01x ，所以min()2 120h x，因此不等式得证（12 分）22（本小题满分 10 分）【选修 44：坐标系与参数方程】解：（）曲线 C 的直角坐标方程为24yx 直线 l 的普通方程为210 xy （5 分
9、）（）直线 l 的参数方程为215115xtyt ，（t 为参数），联立直线 l 的参数方程与曲线 C 的方程，可得21214 155tt，整理得26 5150tt，1 2|15PAPBt t（10 分）理科数学参考答案第 5 页（共 5 页）23（本小题满分 10 分）【选修 45：不等式选讲】（）解：由()3f x，可得当2018x时，403723x，解得2017x；当 20182019x时，13，显然不成立；当2019x时，240373x ，解得2020 x，综上，()3f x 的解集为|20172020 x xx或 （5 分）（）证明：()|2018|2019|1f xxx，所以1m 即1yz，方法 1：由均值不等式公式222abab，得3132231322 332 3yzyz ，当且仅当23y，13z 时取等号（10 分）方法 2：由柯西不等式得222(3132)(11)(3132)2 612yzyz ，所以3+1+3+22 3yz，当且仅当23y，13z 时取等号 （10 分）
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