1、第三章 三角恒等变形 2 两角和与差的三角函数2.3 两角和与差的正切函数学习目标重点难点1.掌握两角和与差的正切公式2.掌握两角和与差的正切公式的变形3.能利用两角和与差的正切公式及其变形解决求值、化简与证明问题.1.重点是两角和与差的正切公式及变形2.难点是利用两角和与差的正切公式解决问题.1两角和与差的正切公式(1)T：tan()_；(2)T：tan()_.tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 注意：1.当 k2，k2，k2，k2(kZ)时，公式 T 成立，即有意义当遇到tan，tan，tan()或 tan()的值不存在时，不能使用公式 T，应改用诱导公式或
2、视情况而定例如，化简 tan2，因为 tan 2的值不存在，不能用公式 T，此时可应用诱导公式tan2 cot 来处理2两角和与差的正切公式有以下常见变形：(1)tan tan tan()(1tan tan)；(2)tan tan tan tan tan()tan()；(3)tan tan 1tan tan tan；(4)当 4时，tan4 1tan 1tan.对于公式 tan()tan tan 1tan tan 也有类似的结论，同学们可自行总结2思考：tan 15是多少？提示：2 3探究一 两角和与差的正切公式的直接应用(1)设 tan，tan 是方程 x23x20 的两根，则tan()的值
3、为()A3 B1C1 D3(2)已知 sin()35，tan 12，并且 是第二象限角，求 tan()的值思路点拨：直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是熟记公式，特别是T中的符号规律是“分子同、分母反”答案：A(1)解析：由已知得 tan tan 3，tan tan 2，于是 tan()tan tan 1tan tan 3123，故选 A(2)解：sin()sin 35，sin 35.又 是第二象限角，cos 1sin245.tan sin cos 34.题后点评：求tan()值的关键是分别求出tan，tan 的值或整体求出tan tan 与tan tan 的值，再代入公式
4、计算又 tan 12，tan()tan tan 1tan tan 3412134 122.1已知 sin 45，cos 1213，2，32，求 tan()的值解：sin 45，2，cos 35.tan 43.cos 1213，32，sin 513.tan 512.tan()tan tan 1tan tan 43 512143 5123356.探究二 两角和与差的正切公式的逆用与变形用(1)求值：3tan 151 3tan 15；(2)求值：tan 70tan 10 3tan 70tan 10；(3)在非直角三角形 ABC 中，求证：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C思
5、路点拨：(1)将 3视为 tan 60后再逆用两角差的正切公式；(2)注意到 701060，且 tan 60 3，因此，可用两角差的正切公式的变形；(3)将等式左边任意两项结合利用两角和的正切公式变形，结合 ABC，利用诱导公式证明(1)解：3tan 151 3tan 15 tan 60tan 151tan 60tan 15tan(6015)tan 451.(2)解：由于 tan(7010)tan 70tan 101tan 70tan 10 3，因此 tan 70tan 10 3 3tan 70tan 10，于是 tan 70tan 10 3tan 70tan 103 3tan 70tan 1
6、0 3tan 70tan 10 3.(3)证明：由 tan(AB)tan Atan B1tan Atan B可得tan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)，又 ABC，所以 ABC从而 tan(AB)tan C，于是 tan Atan Btan Ctan C(1tan Atan B)tan Ctan Ctan Atan Btan Ctan Ctan Atan Btan C，故原式成立题后点评：对两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用，是求值、化简或证明的关键，要注意观察角的特点与式子的结构特征，选取恰当、简便的变形的方向与思路，以及所用的公式2化简下列各式：(1)tan43
7、；(2)tan 50tan 70 3tan 50tan 70.解：(1)原式tan 4tan 31tan 4tan 31 31 3 32.(2)原式tan 120(1tan 50tan 70)3tan 50tan 70 3 3tan 50tan 70 3tan 50tan 70 3.思路点拨：先由()求出tan 的值，再由2()求出2的正切值，讨论2的范围后即可确定2的值探究三 给值求角问题已知 tan()12，tan 17，且，(0，)，求 2.解：tan tan()tantan 1tantan 12171121713，而(0，)，0，2.tan 17，(0，)，2，.(，0)而 tan()
8、120，2.2()(，0)又 tan(2 )tan()tantan 1tantan 1213112131，234.题后点评：给值求角问题，讨论确定待求角的范围是关键，必要时还应根据已知的三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小3已知 tan，tan 是方程 x23 3x40 的两根，若，2，2，则 等于多少？解：因为 tan，tan 是方程 x23 3x40 的两根，所以 tan tan 3 3，tan tan 4.所以 tan()tan tan 1tan tan 3 314 3.由 tan tan 3 3，且 tan tan 4，可知 tan 0，tan 0.又，2，2，所以，2，0.所以(
9、，0)所以 23.1两角和与差的正切公式公式特点：等式右边分子为两项tan 与tan，中间符号与等式左边角间符号一致；等式右边分母为两项1与tan tan，中间符号与等式左边角间符号相反2两角和与差的正切公式变形及其应用由 tan()tan tan 1tan tan 变形为tan tan tan()(1tan tan)，1tan tan tan tan tan.特别地，当 4k(kZ)时，tan tan tan4k(1tan tan)1tan tan，即 tan tan tan tan 1.也可写成(1tan)(1tan)2.当ABCk(kZ)时，ABkC(kZ)，tan(AB)tan(kC)
10、tan Ctan Atan Btan Ctan(AB)(1tan Atan B)tan Ctan Ctan Atan Btan Ctan Ctan Atan Btan C，即tan Atan Btan Ctan Atan Btan C3角的“配凑”(1)配凑的目的：用已知角表示未知角(2)配凑的常用形式：2()()，()，2 2，2 2 2.4常值代换法用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，这种代换称为常值代换其中要特别注意的是“1”的代换，如 1sin2cos2，1tan 45sin 90.另外还有12cos 60sin 30；32 sin 60cos 30；3tan 60等例如：1tan 1tan tan 4tan 1tan 4tan tan4，1tan 1tan tan 4tan 1tan 4tan tan4.点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(二十二)谢谢观看！