1、2022年普通高等学校招生全国统一考试 新高考卷数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合，则( )A.B.C.D.2.若，则( )A.-2B.-1C.1D.23.在中，点D在边AB上，记，则( )A.B.C.D.4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为( )A.B.C.D.
2、5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A.B.C.D.6.记函数的最小正周期为T.若，且的图像关于点中心对称，则( )A.1B.C.D.37.设，则( )A.B.C.D.8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36，且，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知正方体，则( )A.直线与所成的角为90B.直线与所成的角为90C.直线与平面所成的角为45D.直线与平面ABCD所成
3、的角为4510.已知函数，则( )A.有两个极值点B.有三个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线11.已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )A.C的准线为B.直线AB与C相切C.D.12.已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为偶函数，则( )A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.的展开式中的系数为_（用数字作答）.14.写出与圆和都相切的一条直线的方程_.15.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_.16.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则的周长是_.四
4、、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：.18.（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）若，求B；（2）求的最小值.19.（12分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，平面平面，求二面角的正弦值.20.（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100
5、人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.（）证明：；（）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（）的结果给出R的估计值.附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821.（12分）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若，求的面积.
6、22.（12分）已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.参考答案1.答案：D解析：通解（直接法）因为，所以；因为，所以.所以，故选D.光速解（特取法）观察选项进行特取，取，则，所以，排除A，B；取，则，所以，排除C.故选D.2.答案：D解析：因为，所以，所以，所以.故选D.3.答案：B解析：通解：因为，所以，所以.故选B.光速解（作图法）：如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A,C,D，故选B.4.答案：C解析：如图，由已知得该棱台的高为（m），所以该棱台的体积.
7、故选C.5.答案：D解析：从7个整数中随机取2个不同的数，共有（种）取法，取得的2个数互质的情况有2,3，2,5，2,7，3,4，3,5，3,7，3,8，4,5，4,7，5,6，5,7，5,8，6,7，7,8，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为.故选D.6.答案：A解析：因为，所以，解得.因为的图象关于点中心对称，所以，且，即，所以，又，所以，所以，解得，所以，所以.故选A.7.答案：C解析：设，则当时，.设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以，又函数在上单调递增，所以，即，所以.设，则，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以在上单调递增
8、，所以，即，所以，即.综上，故选C.8.答案：C解析：通解：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h，依题意，得，解得.由题意及图可得，解得，所以正四棱锥的体积，所以，令，得，所以当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又当时，；当时，；当时，；所以该正四棱锥的体积的取值范围是.故选C.光速解：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h，依题意，得，解得.由题意及图可得，解得，又，所以该正四棱锥的体积（当且仅当，即时取等号），所以正四棱锥的体积的最大值为，排除A,B,D，故选C.优美解：如图，设该球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底边长为a，
9、高为h，正四棱锥的侧棱与高所成的角为，依题意，得，解得，所以正四棱锥的底边长，高.在中，作，垂足为E，则可得，所以，（另解：也可以利用余弦定理，得）所以正四校维的体积，设，易得，则，则，令，得，所以当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减.又当时，；当时，；当时，；所以，所以.所以该正四棱维的体积的取值范围是，故选C.9.答案：ABD解析：如图，连接，在正方形中，因为，所以，所以直线与所成的角为90.故A正确.在正方体中，平面，又平面，所以，连接，则，因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以直线与所成的角为90.故B正确.连接，交于点O，则易得平面，连接OB，因为平面，所以，为直线与平面
10、所成的角.设正方体的棱长为a，则易得，所以在中，所以.故C错误.因为平面ABCD，所以为直线与平面ABCD所成的角，易得，故D正确.故选ABD.10.答案：AC解析：因为，所以，令，得.由得或；由得.所以在，上单调递增，在上单调递减，所以有两个极值点，故A正确.因为的极小值，所以函数在R上有且只有一个零点，故B错误.因为函数的图象向上平移一个单位长度得函数的图象，函数的图象关于原点中心对称且，所以点是曲线的对称中心，故C正确.假设直线是曲线的切线，切点为，则，解得.若，则切点坐标为，但点不在直线上，若，则切点坐标为，但点不在直线上，所以假设不成立，故D错误.故选AC.11.答案：BCD解析：如
11、图，因为抛物线C过点，所以，解得，所以C：的准线为，所以A错误；因为，所以，所以，所以C在点A处的切线方程为，即，又点在直线上，所以直线AB与C相切，所以B正确；设，直线PQ的方程为，由得，所以，且，得或，所以，所以C正确；，所以D正确.故选BCD.12.答案：BC解析：通解（转化法）因为为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，即，所以C正确；因为为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称，因为，所以函数的图象关于点对称，所以的周期，因为，所以，即，所以D不正确；因为，即，所以，所以，所以，所以B正确；不妨取，经验证满足题意，但，所以选项A不正确.综上，选BC.光速解（特例法）因为，均为偶函数
12、，所以函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称.取符合题意的一个函数，则，排除A；取符合题意的一个函数，则，即，所以，所以，排除D.故选BC.13.答案：-28解析：展开式的通项，.令，得，令，得，所以的展开式中的系数为.14.答案：或或.（填一条即可）解析：通解：如图，因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以，所以，所以两圆外切，公切线有三种情况：易知公切线的方程为.另一条公切线与公切线关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为，由，得，由对称性可知公切线过点，设公切线的方程为，则点到的距离为1，所以，解得，所以公切线的方程为，即.还有一条公切线与直线l：垂直，设公
13、切线的方程为，易知，则点到的距离为1，所以，解得或（舍去），所以公切线的方程为，即.综上，所求直线方程为或或.光速解：根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速看出直线是两圆的一条公切线，经验证符合题意，故可填.15.答案：解析：因为，所以.设切点为，O为坐标原点，依题意得，切线斜率，化简，得.因为曲线有两条过坐标原点的切线，所以关于的方程有两个不同的根，所以，解得或，所以a的取值范围是.16.答案：13解析：如图，连接，因为C的离心率为，所以，所以，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，且，所以直线DE的方程为，代入椭圆C的方程，得.设，则，则，
14、所以，解得，所以，所以的周长为.17.答案：（1），（2）见解析解析：（1）解法一因为，所以，又是公差为的等差数列，所以.因为当时，所以，所以，整理得，所以，所以，又也满足上式，所以，则，所以，又也满足上式，所以.解法二因为，所以，又是公差为的等差数列，所以，所以.因为当时，所以，所以，所以，所以，又也满足上式，所以.（2）因为，所以，所以.18.答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以.（2）由（1）得，所以，且，所以，所以，解得，由正弦定理得，当且仅当时取等号，所以的最小值为.19.答案：（1）（2）解析：（1）设点A到平面的距离为h，因为直三棱柱的体积
15、为4，所以，又的面积为，所以，即点A到平面的距离为.（2）取的中点E，连接AE，则，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，又平面ABC，所以，因为，所以平面，所以.以B为坐标原点，分别以，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，所以，因为的面积为，所以，所以，所以，则，设平面ABD的法向量为，则即令，得，又平面BDC的一个法向量为，所以，设二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为.20.答案：（1）有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异（2）（）见解析（）6解析：（1），所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差
16、异.（2）（），由题意知，证明即可，左边，右边.左边=右边，故.（）由调查数据可知，且，所以.21.答案：（1）-1（2）解析：解：（1）将点A的坐标代入双曲线方程得，化简得，得，故双曲线C的方程为.由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立直线l与双曲线C的方程并整理得，故，.，化简得，故，整理得，又直线l不过点A，即，故.（2）不妨设直线PA的倾斜角为，由题意知，所以，解得或（舍去），由，得，所以，同理得，所以.因为，所以，故.22.答案：（1）（2）见解析解析：（1），.若，在R上恒成立，在R上单调递增，即无最小值；若，当时，单调递减，当时，单调递增.在处取得最小值.当时，单调递减，当时，单调递增.在处取得最小值.又与有相同的最小值，.设，则，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增.在处取得最小值，则当时，恒成立，单调递增.又，.（2）由（1）得，且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，.当直线与曲线和共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为，且，则.，.由于，所以，则，上述两式相减得，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
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