1、专题29 数据的离散程度【知识点总结】一、平均数和加权平均数1.平均数一般地，如果有个数据，那么，就是这组数据的算术平均数，简称平均数，用“”表示.即.要点诠释：（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任意一个数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响.2.加权平均数若数据出现次，出现次，出现次出现次，这组数据的平均数为，则=（其中+=n，kn）在一组数据中，数据重复出现的次数f叫做这个数据的权.按照上述方法求出的平均数，叫做加权平均数. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. 要点诠释：
2、（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重. “权”越重，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 二、中位数和众数1.中位数一般地，当一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数.要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.2.众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现
3、在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息.区别：平均数能充分利用数据提供的信息，它的使用最为广泛，能刻画一组数据整体的平均状态，但不能反映个体性质，易受极端值的影响.中位数代表了这组数据数值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.众数反映一组数据中出现次数最多的数据.一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有.总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据的集中程度的统计量，选择的统计量要能够更客观地反映
4、实际背景.四、方差设一组数据是，它们的平均数是，我们用来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，越不稳定.在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度.要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.五、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用
5、样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.【精典例题】一、平均数、众数和中位数1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（）A99.60，99.70 B99.60，99.60 C99.60，98.80 D99.70
6、，99.60【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可【答案】B；【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60故选B【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个2、若数据3.2，3.4，3.2，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是_，平均数是_【答案】
7、3.2；3.5；解：由题意，所以众数是3.2，平均数是3.5. 3、某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）A6.2小时 B6.4小时 C6.5小时 D7小时【答案】B；解：根据题意得：（510+615+720+85）50=（50+90+140+40）50=32050=6.4（小时）故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时二、利用平均数、众数、中位数解决问题1、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用三位候选人的各项测试
8、成绩如下表所示：测试项目测试成绩甲乙丙教学能力857373科研能力707165组织能力647284 (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由【思路点拨】（1）运用求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.【答案与解析】解：(1)甲的平均成绩为：(857064)373，乙的平均成绩为：(737172)372，丙的平均成绩为：(736584)374， 候选人丙将被录用 (2)甲的测试成绩为：(855703642
9、)(532)76.3，乙的测试成绩为：(735713722)(532)72.2，丙的测试成绩为：(735653842)(532)72.8， 候选人甲将被录用【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用2、小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10、30、60量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?【答案】解：小王平时测试的平均成绩（分）所以（分）答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学
10、成绩表(已破损) 已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分 (1)求该班80分和90分的人数分别是多少? (2)设此班30名学生成绩的众数为，中位数为，求的值【答案与解析】解：(1)设该班得80分的有人，得90分的有人根据题意和平均数的定义，得整理得 解得 即该班得80分的有8人，得90分的有5人 (2)因为80分出现8次且出现次数最多所以80，第15、16两个数均为80分，所以80，则8080160 【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义解题的关键是准确理解题意，建立等量关系.4、某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统
11、计，并绘制了统计图表如图所示的统计图零花钱数额（元）5101520学生个数（个）15205请根据图表中的信息，回答以下问题. (1)求的值； (2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数【答案】解：(1) 501520510(2)众数是15平均数为(51010151520205)12三、方差1、甲、乙两班举行汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数 甲 55 149191 135 乙 55 151110 135 分析此表得出如下结论：（ ） （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟
12、输入汉字150个为优秀） （3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大 A（1）（2） B（1）（2）（3） C（2）（3） D（1）（3）【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.【答案】B【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义.2、甲、乙两人各射击6次，甲
13、所中的环数是8，5，5，A，B，C, 且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是（）A甲射击成绩比乙稳定 B乙射击成绩比甲稳定C甲、乙射击成绩稳定性相同 D甲、乙射击成绩稳定性无法比较【答案】B.四、用样本估计总体1、我国是世界上严重缺水的国家之一为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图 (1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有
14、多少户【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体【答案与解析】 解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是 这组样本数据的平均数为6.8 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多 这组数据的众数是6.5 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有 这组数据的中位数是6.5(2) 10户中月均用水量不超过7t的有7户，有 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过
15、7t的约有35户【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据掌握平均数、中位数和众数的计算方法2、从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm）甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的方差.(2)哪种玉米的苗长得高些？(3)哪种玉米的苗长得齐？【思路点拨】本题考察方差的定义.熟记方差的计算公式是解决问题的关键.【答案与解析】解：（1）甲的平均值:乙的平均值: 甲的方差:,乙的方差:（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以乙种玉米的苗长的高.（3）因为，所以甲种玉米的苗长得整齐.【总结升华】本题既是一道与方差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目，关键是理解和掌握方差的计算公式.3、为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图： 请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势【答案】植株编号12345甲种苗高75458乙种苗高64565，甲种水稻比乙种水稻长得更高一些，乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些