1、考纲解读 1.熟练掌握正弦、余弦及正切函数的图象，并能根据图象得出三角函数的性质(重点)2.掌握正弦、余弦函数在0,2上的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值等)，并理解正切函数在2，2 内的单调性(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容预测2020年会与三角恒等变换结合考查三角函数的图象与性质，尤其是周期性、单调性及最值问题，同时也要注意对称轴及对称中心的应用题型常以客观题的形式呈现，有时也会出现于解答题中，难度属中、低档题型.基础知识过关 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysinx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，2，1，(，0)，3
2、2，1，(2，0)余弦函数ycosx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 1概念辨析(1)ytanx在整个定义域上是增函数()(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期()(3)由sin623sin 6 知，23是正弦函数ysinx(xR)的一个周期()(4)三角函数中奇函数一般可化为yAsinx或yAtanx的形式，偶函数一般可化为yAcosxb的形式()2小题热身(1)(2017全国卷)函数f(x)sin2x3 的最小正周期为()A4 B2 C D.2解析 函数f(x)sin2x3
3、的最小正周期T22.故选C.答案 C答案解析(2)函数y12cosx的单调递减区间是_解析 y12cosx的单调递减区间就是ycosx的单调递增区间，即2k，2k(kZ)答案 2k，2k(kZ)答案解析(3)函数y32sinx4 的最大值为_，此时x_.解析 函数y32sinx4 的最大值为325，此时x432 2k，即x54 2k(kZ)答案 5 54 2k(kZ)答案解析(4)cos23，sin68，cos97从小到大的顺序是_解析 sin68sin(9022)cos22.因为余弦函数ycosx在0，上是单调递减的，且222397，所以cos97cos23cos22.即cos97cos23
4、sin68.答案 cos97cos23sin68答案解析经典题型冲关 题型 一 三角函数的定义域和值域1函数f(x)2tan2x6 的定义域是()Axx6Bxx 12Cxxk6kZDxxk2 6kZ答案 D答案解析 由2x6k2，kZ，解得xk2 6，kZ，所以函数f(x)2tan2x6 的定义域是xxk2 6，kZ.解析2函数y2sin6x3(0 x9)的最大值与最小值之和为()A2 3 B0 C1 D1 3答案 A答案解析 因为0 x9，所以36x376，所以sin6x3 32，1.所以y 3，2，所以ymaxymin2 3.解析3(2018长沙质检)函数ysinxcosxsinxcosx
5、的值域为_解析 令tsinxcosx，则t 2sinx4 2，2由(sinxcosx)212sinxcosx得sinxcosx12(1t2)，所以yt12(1t2)，t 2，2的值域即为所求答案 12 2，1答案解析因为yt12(1t2)12(t1)21，当t 2时，ymin12 2，当t1时，ymax1，所以原函数的值域为12 2，1.解析1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数最值或值域的三种求法1函数ycosx 32 的定义域为()A.6，6B.k6，k6(kZ)C.2k6，2k6(kZ)D.R答案 C答案
6、解析 由cosx 32 0，得cosx 32，2k6x2k6，kZ.解析2已知函数f(x)sinx6，其中x3，a，若f(x)的值域是12，1，则实数a的取值范围是_答案 3，答案解析 因为x3，a，所以x66，a6.因为x66，2 时，f(x)的值域是12，1，由函数ysinx的图象和性质可知，2a676，解得a3，.解析3函数ycos2x3cosx1的最大值为_解析 由题意可得ycosx32254，1cosx1，所以当cosx1时，ymax1.答案 1答案解析题型 二 三角函数的单调性1(2018乌鲁木齐一模)已知3为函数f(x)sin(2x)02 的零点，则函数f(x)的单调递增区间是(
7、)A.2k512，2k 12(kZ)B.2k 12，2k712(kZ)C.k512，k 12(kZ)D.k 12，k712(kZ)答案 C答案解析 由于3为函数f(x)sin(2x)00，函数f(x)sinx4 在2，上单调递减，则的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D.(0,2答案 A答案解析 由2x得24x44，由题意知24，4 2k2，2k32(kZ)，当k0时，由242，432，求得1254.解析3函数y|tanx|在2，32 上的单调减区间为_解析 如图，观察图象可知，y|tanx|在2，32 上的单调减区间为2，0 和2，.答案 2，0 和2，答案解析条件探究1
8、 将举例说明1中的函数改为f(x)sin2x3，求其单调减区间解 由已知函数为ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求ysin2x3 的单调增区间由2k22x32k2，kZ，得k 12xk512，kZ.故所给函数的单调减区间为k 12，k512(kZ)答案条件探究2 若举例说明1中函数的定义域改为0，求其单调递增区间解 记Axk512xk 12，kZ，B0，观察数轴可知AB0，12 712，所以函数yf(x)，x0，的单调递增区间为0，12 和712，.答案求三角函数单调区间的两种方法(1)复合函数法(2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.1在下列给出的函数中，以为
9、周期且在0，2 上是减函数的是()Aycosx2Bycos(2x)Cysin2x4Dytanx4答案 B答案解析 ycosx2的周期为4，不符合要求ycos(2x)cos2x，令t2x，t2x在x0，2 上为增函数，ycost在t(0，)上为减函数，所以ycos(2x)在0，2 上为减函数，符合要求同理可得ysin2x4 在0，2 上先增后减，ytanx4 在0，2 上为增函数解析2已知函数f(x)2sinx73，设af7，bf6，cf3，则a，b，c的大小关系是_答案 cab答案解析 f(x)2sinx32 2sinx3，af7 2sin1021，bf6 2sin2，cf3 2sin23 2
10、sin3，因为ysinx在0，2 上单调递增，且31021 2，所以sin3sin1021 sin2，即cab.解析题型 三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数的周期性1(2018全国卷)函数f(x)tanx1tan2x的最小正周期为()A4B2C D2答案 C答案解析 由已知得f(x)tanx1tan2xsinxcosx1sinxcosx2sinxcosx12sin2x，f(x)的最小正周期T22.故选C.解析角度2 三角函数的奇偶性2(2018烟台检测)若函数f(x)cos2x3(0)是奇函数，则_.解析 因为f(x)为奇函数，所以32k(kZ)，56 k，kZ.又因为00)
11、的周期为2，函数yAtan(x)(0)的周期为求解2函数具有奇偶性的充要条件函数yAsin(x)(xR)是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)(xR)是偶函数k2(kZ)；函数yAcos(x)(xR)是奇函数k2(kZ)；函数yAcos(x)(xR)是偶函数k(kZ)3与三角函数有关的图象的对称性问题对于函数yAsin(x)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.1关于函数ytan2x3，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间0，3 上单调递减C6，0 为其图
12、象的一个对称中心D最小正周期为答案 C答案解析 ytan2x3 是非奇非偶函数，A错误；ytan2x3 在区间0，3 上单调递增，B错误；由2x3k2 得xk4 6(kZ)，得函数ytan2x3 的对称中心为k4 6，0，kZ，故C正确；函数ytan2x3 的最小正周期为2，D错误解析2(2016浙江高考)函数ysinx2的图象是()答案 D答案解析 由ysinx2为偶函数，其图象关于y轴对称，可以排除A，C；当x2时，ysin22sin24 1，排除B，故选D.解析3(2018江苏高考)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)cosx2，0 x2，x12，20
13、)若f(x)f4 对任意的实数x都成立，则的最小值为_解析 结合余弦函数的图象得 4 6 2k，kZ，解得8k 23，kZ.又0，当k0时，取得最小值，最小值为23.答案 23答案解析方法指导 函数yAsin(x)(A0，0)的性质(1)奇偶性：k(kZ)时，函数yAsin(x)为奇函数；k 2(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数(原理：诱导公式、yAsinx为奇函数、yAcosxb为偶函数)(2)周期性：yAsin(x)存在周期性，其最小正周期为T2.(3)单调性：根据ysint和tx的单调性来研究，由 2 2kx 22k，kZ得单调递增区间；由 2 2kx 32 2k，kZ得单调递减区间(原理：复合函数同增异减)(4)对称性：利用ysinx的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令xk(kZ)，求得x.利用ysinx的对称轴为xk 2(kZ)求解，令xk2(kZ)，求得其对称轴(原理：对称中心、对称轴处函数值的特点)注意：明确推导以上结论的原理，可以类似推出yAcos(x)、yAtan(x)的相关性质.
