1、考纲解读 1.了解任意角的概念及弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化(重点)2.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围预测2020年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值常以客观题形式考查，属中、低档试题.基础知识过关 1.任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形01 端点(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度
2、制的定义和公式(1)定义：把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.01 半径(2)公式3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin，cos，tan.(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的和01 y02 x03 yx04 正弦线、05 余弦线06 正切线1概念辨析(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置
3、无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)借助三角函数线可知，若为第一象限角，则sincos1.()2小题热身(1)下列与94 的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk36094(kZ)Ck360315(kZ)Dk54(kZ)答案 C答案 解析 角度制与弧度制不能混用，排除A，B；因为94 24，所以与94 终边相同的角可表示为k36045(kZ)或k360315等，故选C.解析(2)若角同时满足sin0且tan0，则角的终边一定落在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析 因为sin0，所以的终边位于x轴的下方，因为tan0，所以的终边在第二、四象限，所以角的
4、终边一定落在第四象限答案 D答案 解析(3)已知扇形的圆心角为120，其弧长为2，则此扇形的面积为_解析 设此扇形的半径为r，由题意得 23 r2，所以r3，所以此扇形的面积为12233.答案 3答案 解析(4)设角的终边经过点P(4，3)，那么2cossin_.解析 因为r|OP|42325，所以cos45，sin35，所以2cossin24535 115.答案 115答案 解析 经典题型冲关 题型 一 象限角与终边相同的角1(2018长春一模)若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y 3x上，则角的取值集合是()A2k3，kZB2k23，kZCk23，kZDk3，kZ答案
5、 D答案 解析 因为直线y 3x的倾斜角是23，所以终边落在直线y 3x上的角的取值集合为k3，kZ，故选D.解析 2与2019的终边相同，且在0360内的角是_解析 因为20195360219，所以与2019终边相同的角可表示为k360219(kZ)其中在0360内的角是219.答案 219答案 解析 3若角是第二象限角，则2是第_象限角解析 因为角是第二象限角，所以2k22k，kZ，所以k42k2，kZ.所以2是第一或第三象限角答案 一或三答案 解析 1象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化法：先将已知角化为k
6、360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角2表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间(3)起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合如举例说明3中角的表示方法.1.已知是第二象限的角，则180是第_象限的角解析 的终边与的终边关于x轴对称，的终边逆时针旋转180得180的终边，所以由是第二象限角可知，180是第一象限角.答案 一答案 解析 2.在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析 与45终边相同的角可表示
7、为k36045(kZ)，当k1时，36045315；当k2时，72045675，所以在7200范围内所有与45终边相同的角为675或315.答案 675或315答案 解析 3.已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_答案 2k42k56，kZ答案 解析 在0,2)内，终边落在阴影部分的角的集合为4，56，所以所求角的集合为2k42k56，kZ.解析 题型 二 弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用1.已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是()A.2 B1 C.12 D3答案 A答案 解析 解法一：设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，
8、则2rl4，面积S12rl12r(42r)r22r(r1)21，故当r1时S最大，这时l42r2.从而lr212.解法二：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为l，则l2l4.解析 故l 412.又S12lr l224122 12844 8441.当且仅当4，即2时，S取最大值.解析 2.(2018成都模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是_答案 1sin1答案 解析 如图所示，设半径为R，则12Rsin1，所以R12sin1，弧长lR2R 1sin1.解析 条件探究1 若举例说明1改为扇形的圆心角为6，面积为13，求扇形的弧长解 设扇形的半径为r，弧长为l，则lr6，12
9、lr13，解得l2，r13.答案 条件探究2 若举例说明1条件改为扇形的面积是4 cm2，当扇形周长最小时，求扇形的圆心角的弧度数解 设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则扇形的面积S12lr12rr12r24，所以r8r，设扇形的周长为L，则L2rr2r8r，r(0，)，答案 由L28r22r28r22r2r2r20，得r2，当r(0,2)时，L0，L2r8r单调递增，所以当r2时，扇形的周长L取得最小值，此时扇形的圆心角8r2842.答案 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利
10、用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.1.扇形弧长为20 cm，圆心角为100，则该扇形的面积为_ cm2.解析 由弧长公式l|r，得r 2010018036，S扇形12lr122036 360.答案 360答案 解析 2.如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的_倍解析 设这个扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，变化后半径为r，弧长为l，圆心角为，则lr32l12r3，所以该弧所对的圆心角是原来的3倍.答案 3答案 解析 题型 三 任意角三角函数的定义及应用角度1 利用三角函数的定义求值1.(2
11、018济南二模)已知角的终边经过点(m，2m)，其中m0，则sincos等于()A.55 B 55 C35 D35答案 B答案 解析 角的终边经过点(m，2m)，其中m0，则当m0时，xm，y2m，r 5|m|5m，sinyr2m5m 2 55，cosxr m5m55，sincos 55.当m0时，xm，y2m，r 5|m|5m，sinyr 2m 5m2 55，cosxrm 5m 55，sincos 55.综上可得，sincos 55.解析 角度2 三角函数值符号的判定2.(2018怀化模拟)sin2cos3tan4的值()A.小于0 B大于0C.等于0 D不存在解析 因为22340，cos3
12、0，所以sin2cos3tan40.答案 A答案 解析 角度3 三角函数线的应用3.函数y 2sinx1的定义域为_答案 x2k6x2k56，kZ答案 解析 2sinx10，sinx12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)xx2k6x2k56，kZ.解析 1.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题2三角函数值符号的记忆口诀一全正、二正弦，三正切、四余弦3三角函数线的两个主要应用(1)三
13、角式比较大小；(2)解三角不等式(方程).1.若sincos0，则角是()A.第一象限角 B第二象限角C.第三象限角D第四象限角答案 D答案 解析 由tansin0，得 1cos0，cos0，又sincos0，所以sin0，所以为第四象限角，选D.解析 2.满足cos12的角的集合为_答案 2k23 2k43，kZ答案 解析 由三角函数线画出满足条件的x的终边范围(如图阴影所示)所以2k23 2k43，kZ.解析 3.已知角的终边经过点P(x，6)，且cos 513，则x_.解析 r|OP|x262 x236，因为cos 513，所以xx236 513，显然x0，解得x52.答案 52答案 解析