1、章末综合测评(五)导数及其应用(满分：150分时间：120分钟) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如果物体的运动方程为s2t(t1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是()A米/秒 B米/秒C米/秒 D米/秒Ass(t)2t，s(t)2故物体在2秒末的瞬时速度s(2)22曲线y(x3x2)ex在x1处的切线方程为()Ay7ex5eBy7ex9eCy3ex5eDy3ex5eAy(3x22x)ex(x3x2)ex，所以y|x17e，又x1时，y2e，所以所求切线方程为y2e7e(x1)，即y7ex5e，故
2、选A3函数f(x)2ln xx的单调递增区间是()A(0，)B(3，1)C(0，1)D(1，)C依题意，函数的定义域为(0，)，f(x)1，故当0x1时，f(x)0，所以函数的单调递增区间为(0，1)，故选C4已知函数f(x)ax3bx(a，bR)的图象如图所示，则a，b的关系是()A3ab0B3ab0Ca3b0Da3b0B由函数图象知，函数在x1取得极大值，在x1取得极小值，即1，1是f(x)0的两个根，又f(x)3ax2b，所以3ab0故选B5若函数f(x)x22xaln x有两个不同的极值，则实数a的取值范围是()Aa1B1a0Ca1D0a1Df(x)的定义域是(0，)，f(x)x2，若
3、函数f(x)有两个不同的极值，则g(x)x22xa在(0，)有2个不同的实数根，故解得0a1，故选D6要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为()AB10C20DA设圆锥的高为x(0x20)，则圆锥底面半径：r，圆锥体积：Vr2x(400x2)xx3x，Vx2，令V0，解得x，当x时，V0；当x时，V0当x，V取最大值，即体积最大时，圆锥的高为7已知函数f(x)x29ln x3x在其定义域内的子区间(m1，m1)上不单调，则实数m的取值范围为()A B C DD因为f(x)x29ln x3x，所以f(x)2x3，令f(x)0，即2x30，解得x或x3(舍)，所以x时，f(x
4、)0，f(x)单调递减，x时，f(x)0，f(x)单调递增，而f(x)在区间(m1，m1)上不单调，所以m1m1，解得m，因为(m1，m1)是函数f(x)定义域内的子区间，所以m10，即m1，所以m的范围为故选D8下列结论正确的是()A若f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定是xa和xb时取得D若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值D函数f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大
5、值和最小值二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9下列函数中，存在极值的是()AyxBy2|x|Cy2x3xDyxln xBD由题意函数yx，则y10，所以函数yx在(，0)和(0，)内单调递增，没有极值，故A错误；函数y2|x|根据指数函数的图象与性质可得，当x0时，函数y2|x|单调递减，当x0时，函数y2|x|单调递增，所以函数y2|x|在x0处取得极小值，故B正确；函数y2x3x，则y6x210，所以函数y2x3x在R上单调递减，没有极值，故C错误；函数yxln x，则y1ln x，当x
6、时，y0，函数单调递减，当x时，y0，函数单调递增，当x时，函数取得极小值，故D正确故选BD10如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则()A在x2时，函数yf(x)取得极值B在x1时，函数yf(x)取得极值Cyf(x)的图象在x0处切线的斜率小于零D函数yf(x)在区间(2，2)上单调递增AD由题图可知，x2是导函数f(x)的一个变号零点，故当x2时，函数f(x)取得极值，选项A正确；x1不是导函数f(x)的一个变号零点，故当x1时，函数f(x)不能取得极值，选项B错误；yf(x)的图象在x0处的切线斜率为f(x)0，选项C错误；当x(2，2)时，f(x)0，此时函数yf(x)单调递
7、增，选项D正确故选AD11若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是()Aycos xByln xCyexDyx2AD由题意yf(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1对于选项A，因为f(x)sin x，存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1；对于选项B，因为f(x)0，不存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1；对于选项C，因为f(x)ex0，不存在x1，x2，使得f(x1)f(x2)1；对于选项D，因为f(x)2x，存在x11，x2，使得f(x1)f(x2)4x1x21故选AD12
8、已知函数f(x)则()A若f(x)有两个极值，则a0或a1B若f(x)有极小值，则aC若f(x)有极大值，则aD使f(x)连续的a有3个取值CD作出函数yx和y4x33x的图象，如图所示对于选项A，若f(x)有两个极值，则a0或a，所以选项A错误；对于选项B，当a0时，x0是函数f(x)的极小值，所以选项B错误；对于选项C，由图易知正确；对于选项D，使f(x)连续的a有3个取值，即1，0，1，所以选项D正确故选CD三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13过原点作函数yex的图象的切线，则切线方程是_yexyex，设切点为(x0，e)，则切线斜率为ke，又由直线
9、斜率公式得切线斜率k，e，即1，即x01，切点为(1，e)，ke，切线方程为yex14已知f(x)sin xln x，则f(1)_1cos 1函数f(x)sin xln x，f(x)cos x，f(1)cos 1115已知函数f(x)xln(xa)，若a2时，则f(0)_；又若f(x)的最小值为0，其中a0，则a的值为_(本题第一空2分，第二空3分)1f(x)的定义域为(a，)，f(x)1当a2时，f(x)1，f(0)1又由f(x)0，解得x1aa当ax1a时，f(x)0，f(x)在(a，1a)上单调递减；当x1a时，f(x)0，f(x)在(1a，)上单调递增因此，f(x)在x1a处取得最小值
10、，由题意知f(1a)1a0，故a116设定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x)，则不等式ex1f(x)f(2x1)的解集为_(1，)设F(x)，则F(x)，f(x)f(x)，F(x)0，即函数F(x)在定义域上单调递增ex1f(x)f(2x1)，即F(x)F(2x1)，x2x1，即x1，不等式ex1f(x)f(2x1)的解为(1，)四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)2xln x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)经过点(0，2)作函数f(x)图象的切线，求该切线的方程解(1)函数f(x)2xln x，所以f
11、(x)2ln x2(x0)，令f(x)0，得到增区间，令f(x)0，得到减区间(2)设切点的坐标为(x0，2x0ln x0)，切线斜率为kf(x0)2ln x02，另一方面k，从而有2ln x02，化简得x01，从而切点坐标为(1，0)，切线方程为y2x218(本小题满分12分)设函数f(x)ax2aln x，其中aR，讨论f(x)的单调性解f(x)2ax(x0)，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)内单调递减；当a0时，由f(x)0，有x，此时，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增综上，a0时，减区间为(0，)，a0时，减区间为，增区间为19(本小题
12、满分12分)设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对任意的x0，3，都有f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，当x2时，f(x)取得极小值f(2)48c，又f(0)8c，f(3)98c所以当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c因为对于任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9故c的取值范围为(，1)(9，)20(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造
13、成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5)时，V(r)0，故V(r)在(5，5)上为减函数由此可知，
14、V(r)在r5处取得最大值，此时h8即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大21(本小题满分12分)已知函数f(x)ax，曲线yf(x)在x1处的切线经过点(2，1)(1)求实数a的值；(2)设b1，求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)的导函数为f(x)f(1)1a，依题意，有1a，即1a，解得a1(2)由(1)得f(x)，当0x1时，1x20，ln x0，f(x)0，故f(x)在(0，1)上单调递增；当x1时，1x20，ln x0，f(x)0，故f(x)在(1，)上单调递减，f(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，)上单调递减01b，f(x)最大值为f(1)1设h(b)f(b
15、)fln bb，其中b1则h(b)ln b0，故h(b)在区间(1，)单调递增，当b1时，h(b)0h(b)0f(b)f，故f(x)最小值fbln b22(本小题满分12分)已知函数f(x)2x3ax2b(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0，1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由解(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x若a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0，则当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(
16、x)0故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在()当a0时，由(1)知，f(x)在0，1单调递增，所以f(x)在区间0，1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1()当a3时，由(1)知，f(x)在0，1单调递减，所以f(x)在区间0，1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1()当0a3时，由(1)知，f(x)在0，1的最小值为fb，最大值为b或2ab若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1，2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当且仅当a0，b1或a4，b1时，f(x)在0，1的最小值为1，最大值为1