1、专题一 函数与导数 第1课时题型1函数中的数形结合思想数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.它是数学的规律性与灵活性的有机结合.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.例 1：若函数 f(x)ax3bx4，当 x2 时，函数 f(x)有极值43.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若方程 f(x)k 有 3 个解，求实数 k 的取值范围.解：(1)求导，得 f(x)3ax2b.由题意，得f212ab0，f28a2b44
2、3.解得a13，b4.函数 f(x)的解析式为 f(x)13x34x4.x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)28343(2)由(1)，可得 f(x)x24(x2)(x2)，令 f(x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：图 1-1因此，f(x)极大值f(2)283，f(x)极小值f(2)43.函数 f(x)13x34x4 的图象大致如图 1-1.方程 f(x)k 的解的个数即为函数yk 与 yf(x)图象的交点个数，实数 k 的取值范围为43k0).解：(1)f(x)x3ax22a2xx(x2a)(xa).令 f(x)0，得 x12a，x
3、20，x3a.当 a0 时，列表如下：x(，2a)2a(2a,0)0(0，a)a(a，+)f(x)000f(x)极小值极大值极小值所以 f(x)的单调递增区间为(2a,0)和(a，)，f(x)的单调递减区间为(，2a)和(0，a).(2)由(1)，得 f(x)极小值f(2a)53a41如图 D22(1)或 a41如图 D22(2).即 a 4 127，或 0a1.图 1-2【规律方法】(1)继续探讨：函数 yf(x)的图象与直线 y1恰有三个交点，则 a 的取值范围为 a1如图 1-2(1)或 a 4 127如图 1-2(2)；函数 yf(x)的图象与直线 y1 恰有四个交点，则 a 的取值范
4、围为 1a0 两种情况即可求解.(2)由(1)知，f(1)0.分以下情况讨论：当 a0 时，当 0a12时，综合即可.解：(1)由 f(x)ln x2ax2a，可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，).则 g(x)1x2a12axx.当 a0，x(0，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；当 a0，x0，12a 时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；x12a，时，g(x)0 时，函数 g(x)的单调递增区间为0，12a，单调递减区间为12a，.(2)由(1)知，f(1)0.当 a0 时，f(x)在(0，)内单调递增，所以当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以 f(x)
5、在 x1 处取得极小值，不合题意.当 0a1，由(1)知 f(x)在0，12a 内单调递增，可得当 x0，1 时，f(x)0.所以 f(x)在(0,1)内单调递减，在1，12a 内单调递增.所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意.当 a12，即 12a1 时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减.所以当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意.当 a12，即 0 12a0，f(x)单调递增，当 x(1，)时，f(x)12.2.设函数f(x)m(x1)exx22x1，已知曲线yf(x)在【互动探究】12x0 处的切线 l 的方程为 ykxb，且 kb.(1)
6、求 m 的取值范围；(2)当 x2 时，f(x)0，求 m 的最大值.解：(1)f(x)(x2)(mex1).因为 f(0)m1，f(0)2(m1)，所以切线 l 的方程为 y2(m1)xm1.由 2(m1)m1，得 m1.m 的取值范围为1，).(2)令 f(x)0，得 x12，x2ln m.若 1me2，则2x20.从而当x(2，x2)时，f(x)0.即f(x)在(2，x2)单调递减，在(x2，)单调递增.故 f(x)在2，)的最小值为 f(x2).而f(x2)x2(x22)0，若me2，f(x)e2(x2)(exe2).12故当 x2 时，f(x)0.当 x2 时，f(x)0，即 f(x)在2，)单调递增.故当 x2 时，f(x)f(2)0.若 me2，则 f(2)me21e2(me2)0.从而当 x2 时，f(x)0 不恒成立.故 1me2.综上所述，m 的最大值为 e2.