1、 第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示学习目标1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量等概念.2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:你能否举出一些既有大小又有方向的量?问题2:生活中有没有只有大小没有方向的量?请举例.二、学生探索,尝试解决同学们小组讨论,你是怎么想的?三、信息交流,揭示规律1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量
2、叫向量.问题3:数学中,定义概念后,通常要用符号表示它.怎样把你举例中的向量表示出来呢?2.向量的表示方法:(1)用表示;(2)用字母表示;(3)用有向线段的起点与终点字母:;(4)向量的大小长度称为向量的模,记作.问题4:向量和数量的区别是什么?3.有向线段:,三个要素:.问题5:向量与有向线段的区别是什么?4.零向量、单位向量概念:(1)长度为0的向量叫.(2)长度为1个单位长度的向量,叫.四、运用规律,解决问题【例1】(1)与零向量相等的向量必定是什么向量?(2)与任意向量都平行的向量是什么向量?【例2】一架飞机从A处向正南方向飞行200km,另一架飞机从A处朝北偏东45方向飞行200k
3、m,两架飞机的位移相同吗?分别用有向线段表示两架飞机的位移.五、变式演练,深化提高练习:说出下图中各向量的模,并指出其中的单位向量(小方格为1). 让一个小组编题,另一个小组给出解答,调动同学们的积极性.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?你还有其他什么收获?布置作业课本P77习题2.1A组第1,2,3题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:力、速度、加速度既有大小又有方向.问题2:功、速率、体积、温度只有大小没有方向.三、信息交流,提示规律2.(1)有向线段(2)a,b(3)(4)|问题4:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向、大小
4、,具有双重性,不能比较大小.3.带有方向的线段叫做有向线段起点、方向、长度问题5:(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.4.(1)零向量(2)单位向量四、运用规律,解决问题【例1】零向量零向量【例2】解:位移是向量.虽然这两个向量的模相等,但是它们的方向不同,所以两架飞机的位移不相同.两架飞机位移的有向线段表示分别为图中的有向线段a与b.五、变式演练,深化提高练习:解:其中的单位向量是.|=2,|=2,|=,|=3,|=3,|=3.2.1.3相等向
5、量与共线向量学习目标1.掌握平行向量、相等向量、共线向量等概念;会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.认识现实生活中的平行向量和相等向量.3.培养学生认识客观事物的数学本质的能力.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:满足什么条件的两个向量是相等向量?问题2:有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?二、学生探索,尝试解决问题1:问题2:三、信息交流,揭示规律1.相等向量定义:向量叫相等向量.问题3:单位向量相等吗?2.共线向量的定义及与平行向量的关系:平行向量也叫做共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).说明:(1)平行向量可以在同一直线上,
6、要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.问题4:如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这时它们是不是平行向量?四、运用规律,解决问题【例1】(1)平行向量是否一定方向相同?()(2)不相等的向量是否一定不平行?()(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?()(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?()(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?()(6)两个非零向量相等的条件是什么?()(7)共线向量一定在同一直线上吗?()【例2】下列命题正确的是()A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点
7、与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【例3】如图,设O是正六边形ABCDEF的中心. (1)与向量长度相等的向量有多少个?(2)是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?五、变式演练,深化提高练习:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)向量是共线向量,则A,B,C,D四点必在一直线上;(2)单位向量都相等;(3)四边形ABCD是平行四边形当且仅当(4)一个向量方向不确定当且仅当模为0;(5)共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?你还有其他什么收获?应该
8、注意哪些事项?布置作业课本P78习题2.1A组第5,6题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:等长同向的两个非零向量是相等向量,我们规定,零向量=零向量.问题2:平行或共线.三、信息交流,揭示规律1.长度相等且方向相同问题3:单位向量不一定相等,只有在同向的情况下,才相等.问题4:由相等向量的定义可以知道,向量是自由向量,平移后依然是平行向量. 四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)不一定(2)不一定(3)零向量(4)零向量(5)平行向量(6)长度相等且方向相同(7)不一定【例2】解析:由于零向量与任一向量都共线,所以A项不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在
9、同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B项不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D项不正确;对于C项,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C项.答案:C【例3】(1)11个(2)存在五、变式演练,深化提高练习:解:(1)不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量在同一直线上.(2)不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.(3)(4)正确.(5)不正确.如图共线,虽起点不同,但其终点却相同.