1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年安徽省太和一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1sin（）ABCD2设集合Ax|y，Bx|2x，则AB（）A3，1）B3，1）C（1，1）D（1，13已知公差不为0的等差数列an中，a26，a3是a1，a9的等比中项，则an的前5项之和S5（）A30B45C63D844函数f（x）x2+lnx2的图象在点（1，f（1）处的切线方程为（）Ay3x4By2x3Cy2x+1Dy3x+25“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的登鹳雀楼，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名下面是复建的
2、鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45，若BC2AC，则楼高AB约为（）A65米B74米C83米D92米6“”是“log0.2alog0.2b”的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要不充分条件7已知在四边形ABCD中，ABAD，CD1，+2，E是BC的中点，则（）AB2C3D48函数f（x）x2+的图象大致为（）ABCD9若（，），cos2+sin（）0，则sin（2+）（）AB0CD或010若a，b为正实数，且，则a+b的最小值为（）ABC2D411已知f（x）是定义在R上的奇函数，xR
3、，恒有f（x）+f（x+2）0，且当x（0，1时，f（x）2x+1，则f（0）+f（1）+f（2）+f（2021）（）A1B2C3D412设函数f（x）是函数f（x）（xR）的导函数，若对任意的xR，恒有xf（x）+2f（x）0，则函数g（x）f（x）的零点个数为（）A0B1C2D3二、填空题（每小题5分）.13若变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值为 14已知向量（1，3），|，1，则| 15已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2，则数列的前n项和Tn 16若函数f（x）在定义域D内满足，对任意的x1，x2，x3D且x1+x2x3，有f（x1）+f（x2）f（x3），则称函数f（x
4、）为“类单调递增函数”下列函数是“类单调递增函数”的有 （填写所有满足题意的函数序号）；f（x）x2；f（x）lnx；三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c（cosB2cosA）（2ab）cosC（）求的值；（）若cosC，c2，求ABC的面积18如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABBC，CD2AB，PA平面ABCD，E为PD的中点（1）证明：AE平面PBC；（2）若PACD2BC，求二面角APD
5、C的余弦值192020年全球暴发新冠肺炎疫情，其最大特点是人传人，传播快，病亡率高通过佩戴口罩可以有效地降低病毒传染率在某高风险地区，公共场合未戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，现有在公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊5个人，每个人是否被感染相互独立（）若他们都未戴口罩，求其中恰有3人被感染的概率（）若他们中有3人戴口罩，设5人中被感染的人数为X，求：（）P（X2）；（）E（X）附：对于两个随机变量、，有E（+）E（）+E（）20已知椭圆C：1（ab0）的长轴长为4，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且F1AF260，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设点M、N为椭圆C上的
6、两个动点，若0，问：点O到直线MN的距离d是否为定值？若是，求出d的值；若不是，请说明理由21已知函数f（x）2lnxax（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）若函数g（x）f（x）+x2有两个极值点x1，x2（x1x2），且g（x1）mx20恒成立，求实数m的取值范围（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22已知在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）（）求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（）设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求
7、|AB|的值23已知函数f（x）|2x1|+|x+2|（）求不等式f（x）4的解集；（）若f（x）的最小值为m，且实数a，b满足3a4b2m，求（a2）2+（b+1）2的最小值参考答案一、选择题（每小题5分）.1sin（）ABCD【分析】由题意利用诱导公式求三角函数式的值，属于基础题解：sinsin（673+）sin（+）sin，故选：C2设集合Ax|y，Bx|2x，则AB（）A3，1）B3，1）C（1，1）D（1，1【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可解：Ax|x22x+30x|3x1，Bx|x1，AB（1，1故选：D3已知公差不为0的等差数列an中，a26，a3是a1，a9的
8、等比中项，则an的前5项之和S5（）A30B45C63D84【分析】根据题意，设等差数列an的公差为d，结合等比中项的性质可得（a3）2a1a9，则有（a2+d）2（a2d）（a2+7d），解可得d的值，结合等差数列前n项和公式计算可得答案解：根据题意，设等差数列an的公差为d，a26，由于a3是a1，a9的等比中项，即（a3）2a1a9，则有（a2+d）2（a2d）（a2+7d），即（6+d）2（6d）（6+7d），解可得d3或d0（舍），可得a13，则an的前5项之和S55a1+315+3045故选：B4函数f（x）x2+lnx2的图象在点（1，f（1）处的切线方程为（）Ay3x4By2x
9、3Cy2x+1Dy3x+2【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程解：函数f（x）x2+lnx2的导数为f（x）2x+，可得f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为2+13，由切点为（1，1），可得在点（1，f（1）处的切线方程为y（1）3（x1），即为y3x4故选：A5“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的登鹳雀楼，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30，沿直线前进79米到达E点，此
10、时看点C的仰角为45，若BC2AC，则楼高AB约为（）A65米B74米C83米D92米【分析】不妨设ACx，然后得到，再根据DEBDBE，求出x的值即可解：不妨设ACx，根据条件可得BCBE2x，ABAC+BC3x，AB3x74 米故选：B6“”是“log0.2alog0.2b”的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要不充分条件【分析】不一定得到log0.2alog0.2b，a0时便得不到；而根据对数函数log0.2x的单调性，由log0.2alog0.2b便得到，即可判断逻辑关系解：由log0.2alog0.2bba0，由0ab，不能够推出log0.2alog0.2b，所
11、以“”是“log0.2alog0.2b”的必要不充分条件故选：D7已知在四边形ABCD中，ABAD，CD1，+2，E是BC的中点，则（）AB2C3D4【分析】画出图形，结合向量的数量积转化求解即可【解答】解由题意可知四边形ABCD如图：CD1，+2，可得|AB|2E是BC的中点，过E作EFAB于F，|AF|AB|，可得|cosEAB|23故选：C8函数f（x）x2+的图象大致为（）ABCD【分析】先判断f（x）的奇偶性，排除CD，再取特殊值，排除A，即可得到正确选项解：f（x）x2+，则f（x）的定义域为x|x0，又f（x）x2+f（x），f（x）为偶函数，则可排除CD；当x1时，f（x）10
12、，则可排除A故选：B9若（，），cos2+sin（）0，则sin（2+）（）AB0CD或0【分析】先结合诱导公式和二倍角公式对已知等式化简，可求得cos+sin的值，再由同角三角函数的关系式求得sin2和cos2的值，最后结合正弦的两角和公式，得解解：因为cos2+sin（）0，所以cos2sin2sin（）0，所以（cossin）（cos+sin）（cossin）0，所以（cossin）（cos+sin）0，因为（，），所以cossin0，故cos+sin0，所以（，），2（，），又（cos+sin）21+sin2，所以1+sin2，解得sin2，因为2（，），所以cos2，所以sin（2+
13、）sin2+cos2（）+（）故选：A10若a，b为正实数，且，则a+b的最小值为（）ABC2D4【分析】先将式子a+b变形为（2a+b）+（a+2b），再利用基本不等式求得结果即可解：a，b为正实数，且，a+b（2a+b）+（a+2b）（2a+b）+（a+2b）（+）（2+）（2+2），当且仅当ab时取“，故选：B11已知f（x）是定义在R上的奇函数，xR，恒有f（x）+f（x+2）0，且当x（0，1时，f（x）2x+1，则f（0）+f（1）+f（2）+f（2021）（）A1B2C3D4【分析】令xx+2代入f（x+2）f（x）即可得出f（x+4）f（x）；根据周期可得f（0）+f（1）+f
14、（2）+f（2021）f（1）解：f（x+2）f（x），f（x2+2）f（x2），即f（x）f（x2），又f（x）f（x+2），f（x+2）f（x2），f（x）f（x+4）f（x）的最小正周期是4f（0）0，f（1）3，f（2）0，f（3）f（1）3又f（x）是周期为4的周期函数，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）f（4）+f（5）+f（6）+f（7）f（2 012）+f（2 013）+f（2 014）+f（2 015）0f（0）+f（1）+f（2）+f（2 021）f（2 021）f（1）21+13故选：C12设函数f（x）是函数f（x）（xR）的导函数，若对任意的xR，恒有xf（x）+
15、2f（x）0，则函数g（x）f（x）的零点个数为（）A0B1C2D3【分析】设F（x）x2f（x）2，通过函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后判断函数的零点个数即可解：设F（x）x2f（x）2，则F（x）x2f（x）+2xf（x）xxf（x）+2f（x）因为对任意的xR，恒有xf（x）+2f（x）0，所以当x0时，F（x）0，函数yF（x）在（0，+）单调递减，当x0时F（x）0，所以函数yF（x）在（，0）上单调递增，所以F（x）maxF（0）20，所以函数yF（x）没有零点，故g（x）f（x）也没有零点故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若变量x，y满
16、足约束条件则z3xy的最大值为6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），化目标函数z3xy为y3xz，由图可知，当直线y3xz过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6故答案为：614已知向量（1，3），|，1，则|【分析】利用向量的模以及向量的数量积的运算法则，化简求解即可解：向量（1，3），可得|，|，可得，1，可得102+13，则|故答案为：15已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2，则数列的前n项和Tn2【分析】先由题设an2an1，n2，然后求得首项a1，从而
17、说明数列an是首项、公比均为2的等比数列，进而求得an与，再利用错位相减法求得数列的前n项和即可解：Sn2an2，Sn12an12（n2），两式相减得：an2an2an1，即an2an1，n2，又当n1时，有S12a12，解得：a12，数列an是首项、公比均为2的等比数列，an2n，又Tn+，Tn+，两式相减得：Tn+，整理得：Tn2故答案为：Tn216若函数f（x）在定义域D内满足，对任意的x1，x2，x3D且x1+x2x3，有f（x1）+f（x2）f（x3），则称函数f（x）为“类单调递增函数”下列函数是“类单调递增函数”的有（填写所有满足题意的函数序号）；f（x）x2；f（x）lnx；【
18、分析】根据“类单调递增函数”的定义对各个选项进行判断即可解：对于，显然+，即f（x1）+f（x2）f（x3），是“类单调递增函数”；对于，取x1x22，x33，此时+8，9，即f（x1）+f（x2）f（x3），不是“类单调递增函数”；对于，取取x1x2x31，此时lnx1+lnx20，lnx30，即f（x1）+f（x2）f（x3），不是“类单调递增函数”；对于，x1，x2，x3（0，），若，则sinx1+sinx2sinx1cosx2+sinx2cosx1sin（x1+x2）sinx3，若，则0x2x1，sinx1+sinx2，即f（x1）+f（x2）f（x3），是“类单调递增函数”，所以是“
19、类单调递增函数”的有，故选：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c（cosB2cosA）（2ab）cosC（）求的值；（）若cosC，c2，求ABC的面积【分析】（）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果（）首先利用（）的结论和余弦定理求出a和b的值进一步即可求出三角形的面积解：（）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（cosB2cosA）（2ab）cosC，则由正弦定理可得
20、：sinCcosB2sinCcosA2sinAcosCsinBcosC，整理得：2sin（A+C）sin（B+C），即2sinBsinA，由正弦定理得：2（）因为，c2，且2，由余弦定理cosC，可得：，解得：b，a2b2，则：SABCabsinC18如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABBC，CD2AB，PA平面ABCD，E为PD的中点（1）证明：AE平面PBC；（2）若PACD2BC，求二面角APDC的余弦值【分析】（1）取CD的中点F，连结EF，AF，推导出EFPC，ABCF，四边形ABCF是矩形，AFBC，从而平面AEF平面PBC，由此能证明AE平面PBC（2）以A为原点，AF为x
21、轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角APDC的余弦值【解答】（1）证明：取CD的中点F，连结EF，AFE是PD中点，EFPC，CD2AB，CD2AB，ABCF，ABCD，ABBC，四边形ABCF是矩形，AFBC，EFAFF，PCBCC，平面AEF平面PBC，AE平面AEF，AE平面PBC（2）解：由已知和（1）得AB，AF，PA两两垂直，以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设CD2AB2，则PACD2BC2，A（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（1，1，0），（0，0，2），（0，20），（1，1，2），平面
22、APD的法向量（x，y，z），则，令z1，（1，1，0），设平面CPD的一个法向量（x，y，z），则，令x2，得（2，0，1），cos，二面角APDC的余弦值为192020年全球暴发新冠肺炎疫情，其最大特点是人传人，传播快，病亡率高通过佩戴口罩可以有效地降低病毒传染率在某高风险地区，公共场合未戴口罩被感染的概率是，戴口罩被感染的概率是，现有在公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊5个人，每个人是否被感染相互独立（）若他们都未戴口罩，求其中恰有3人被感染的概率（）若他们中有3人戴口罩，设5人中被感染的人数为X，求：（）P（X2）；（）E（X）附：对于两个随机变量、，有E（+）E（）+E（）【分析】（）
23、根据概率公式计算即可；（）（i）分别计算出当被感染的两人都未戴口罩时的概率，当被感染的只有一人都未戴口罩时的概率，当被感染的两人都戴口罩时的概率，相加即可；（ii）设戴口罩的3人被感染的人数为，未戴口罩的2人被感染的人数为，根据公式计算即可解：（）若他们都未戴口罩，恰有3人被感染的概率是PC53（）3（1）2；（）（i）当被感染的两人都未戴口罩时，P1（）2（）3，当被感染的只有一人都未戴口罩时，P2C21C31（）2，当被感染的两人都戴口罩时，P3（）2C32（）2（），P（X2）P1+P2+P3；（ii）设戴口罩的3人被感染的人数为，则B（3，），未戴口罩的2人被感染的人数为，则B（2，）
24、，E（X）E（+）E（）+E（）3+220已知椭圆C：1（ab0）的长轴长为4，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且F1AF260，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设点M、N为椭圆C上的两个动点，若0，问：点O到直线MN的距离d是否为定值？若是，求出d的值；若不是，请说明理由【分析】（1）由已知求得a2，求解RtOAF2，可得b，则椭圆C的方程可求；（2）当直线MN的斜率存不在时，MNx轴，由，可得OMON，结合椭圆的对称性，可设M（x，x），N（x，x），则d|x|，把M的坐标代入椭圆方程可得d当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykx+m，此时点O到直线MN的距离d，即
25、，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合0，求得，得到距离d解：（1）设椭圆C的半焦距为c，由已知可得2a4，a2，F1AF260，在RtOAF2中，可得OAF230，|OA|b，|OF2|c，|AF2|a2，cos，解得b椭圆C的方程为；（2）当直线MN的斜率存不在时，MNx轴，由，可得OMON，结合椭圆的对称性，可设M（x，x），N（x，x），则d|x|，将点M（x，x）代入椭圆方程，可得，解得x，d当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykx+m，此时点O到直线MN的距离d，即，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，由64
26、k2m24（3+4k2）（4m212）0，得m24k2+3，x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m）又0，x1x2+y1y20，即，解得，即d综上所述，点O到直线MN的距离d是定值21已知函数f（x）2lnxax（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）若函数g（x）f（x）+x2有两个极值点x1，x2（x1x2），且g（x1）mx20恒成立，求实数m的取值范围【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出x1+x22，x1x21，0x11x2，要使g（x1）mx20恒成立，只需m恒成立，求出2x1+2x1lnx1，令h（t）t32t+2tlnt（0
27、t1），根据函数的单调性求出m的范围即可解：（）f（x）2lnxax（aR），f（x）的定义域是（0，+），f（x）a，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，当a0时，令f（x）0，解得：x，当0x时，f（x）0，f（x）递增，当x时，f（x）0，f（x）递减，综上：当a0时，f（x）在（0，+）递增；当a0时，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减；（）g（x）f（x）+x22lnxax+x2，则g（x）a+2x（x0），若函数g（x）f（x）+x2有两个极值点x1，x2（x1x2），则x1，x2是方程2x2ax+20的两个不相等的实数根，故，解得：a4，故x1+x22，x1x21
28、，故0x11x2，要使g（x1）mx20恒成立，只需m恒成立，由得：2x1+2x1lnx1，令h（t）t32t+2tlnt（0t1），则h（t）3t2+2lnt，当0t1时，h（t）0，h（t）递减，故h（t）h（1）3，故要使g（x1）mx20恒成立，只需满足m3，故实数a的取值范围是（，3（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22已知在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）（）求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（）设曲线C1与曲线
29、C2相交于A，B两点，求|AB|的值【分析】（）利用极坐标公式把曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程；消去参数t，把C2的参数方程化为直角坐标方程（）把曲线C1的直角坐标方程化为参数方程，代入曲线C2的直角坐标方程，利用参数的几何意义求出|AB|的值解：（）曲线C1的极坐标方程为，化为直角坐标方程是xy2+2，即yx22曲线C2的参数方程为消去参数t，化为直角坐标方程为（x3）2+（y+2）29（）曲线C1的参数方程为（s为参数）；代入曲线C2的直角坐标方程，得+9，整理得s2s80，设A、B所对应的参数分别为s1、s2，则，所以|AB|s1s2|23已知函数f（x）|2x1|+|x+2|（）求不等式f（x）4的解集；（）若f（x）的最小值为m，且实数a，b满足3a4b2m，求（a2）2+（b+1）2的最小值【分析】（）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）4，利用零点分段法解不等式即可；（）由（）知，然后求出点（2，1）到直线3x4y50的距离d，从而得到（a2）2+（b+1）2的最小值为d2解：（）f（x）|2x1|+|x+2|，由f（x）4，得或或，x2或2x1或x1，x1或x1，不等式的解集为x|x1或x1（）由（）知，3a4b2m5，即3a4b50，点（2，1）到直线3x4y50的距离，（a2）2+（b+1）2的最小值为d21- 20 - 版权所有高考资源网