1、考点规范练34基本立体图形、直观图、表面积和体积一、基础巩固1.下列说法正确的是()A.棱柱的两个底面是全等的正多边形B.平行于棱柱侧棱的截面是矩形C.直棱柱正棱柱D.正四面体正三棱锥2.若一个圆锥的侧面展开图是半圆,则该圆锥的母线与轴所成的角为()A.30B.45C.60D.903.在一个密闭透明的圆柱形桶内装一定体积的水,将该圆柱形桶分别竖直、水平、倾斜放置时,圆柱形桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是()A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面4.(2020天津,5)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.24C.36D.1445.在封闭的
2、正三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB=6,AA1=4,则V的最大值是()A.16B.323C.12D.436.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上,PC为该球的直径,ABC是边长为4的等边三角形,三棱锥P-ABC的体积为163,则此三棱锥的外接球的表面积为()A.163B.403C.643D.8037.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=6,ABC=90,若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为()A.2B.4C.8D.168.如图所示,四边形ABCO的直观图四边形ABCO为菱形,且边长为2 cm,则在平面直角坐标系Oxy中,四边形ABCO的形
3、状为,面积为 cm2.9.如图,在四边形ABCD中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=22,AD=2,则四边形ABCD绕AD旋转一周所围成几何体的表面积为.二、综合应用10.(多选)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均为正方形,其中AB=22,A1B1=2,AA1=BB1=CC1=2,则下列说法正确的是()A.该四棱台的高为3B.AA1CC1C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为1611.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,ASC=BSC=30,则棱锥S-ABC的体积为()A.33B.23C.3D.112.现有一个底面是菱形的直四
4、棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为.13.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.14.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个
5、正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.三、探究创新15.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体,已知该正方体的棱长为2,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围为.考点规范练34基本立体图形、直观图、表面积和体积1.D选项A中两个底面全等,但不一定是正多边形;选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直,即截面是平行四边形,但不一定是矩形;选项C中正棱柱直棱柱,故A,B,C都错;选项D中,正四面体是各条棱均相等的正三棱锥,故正确.2.A设圆锥侧面展开图的半径为r,则圆锥底面周长为122r=r,设底面
6、半径为r,则2r=r,r=12r.圆锥的母线长为侧面展开图的半径r,设该圆锥的母线与轴所成的角为,则sin=rr=12,=30.3.C将圆柱形桶竖放,水面为圆面;将圆柱形桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱形桶水平放置,水面为矩形面,所以圆柱形桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面,故选C.4.C设该球的半径为R,则2R=(232)2+(23)2=6,所以球的表面积为4R2=36.故选C.5.D正三角形ABC的边长为6,其内切圆的半径为r=32,所以在封闭的正三棱柱ABC-A1B1C1内的球的半径最大值为3,所以其体积为V=43r3=43,故选D.6.D依题意,记三棱锥P-ABC的
7、外接球的球心为O,半径为R,点P到平面ABC的距离为h,则由VP-ABC=13SABCh=133442h=163,得h=43.又PC为球O的直径,因此球心O到平面ABC的距离等于12h=23.又正三角形ABC的外接圆半径为r=AB2sin60=43,因此R2=r2+232=203,三棱锥P-ABC的外接球的表面积等于4R2=803,选D.7.D由题意,知SABC=3,设ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为13SABCDQ=3,DQ=3,如图,设球心为O,半径为R,则球心O在DQ上,且在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(
8、3)2+(3-R)2,R=2,则这个球的表面积为S=422=16.故选D.8.矩形8由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4cm,宽为2cm的矩形,所以四边形ABCO的面积为8cm2.9.(60+42)该几何体为一个圆台从半径较小的底面挖去一个圆锥,其轴截面图形如图所示.过点C分别作CE垂直直线AD于点E,作CF垂直AB于点F.由已知易得DE=2,CE=2,又AD=2,AB=5,CF=4,BF=5-2=3.在RtCFB中,BC=CF2+BF2=5.下底面圆的面积S1=25,圆台的侧面积S2=(2+5)5=35,圆锥的侧面积S3=222=42.故几何体的表面积S=S1+S2+S3=(60+42
9、).10.AD如图,将该四棱台补成四棱锥S-ABCD,连接AC,BD交于点O,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接SO,则SO过点O1,且SO平面ABCD,所以OO1为该四棱台的高.因为AB=22,A1B1=2,可知SA1B1与SAB相似比为12;所以SA=2AA1=4,又由已知得AO=2,所以SO=23,所以OO1=3,即该四棱台的高为3,A正确;因为SA=SC=AC=4,所以AA1与CC1的夹角为60,不垂直,B错误;该四棱台的表面积为S=S上底+S下底+S侧=8+2+4(2+22)2142=10+67,C错误;因为上下底面都是正方形,所以外接球的球心在OO1上.连接OB1,在RtO1O
10、B1中,由OO1=3,B1O1=1,得OB1=2=OB,即点O到点B与点B1的距离相等,则该四棱台外接球的半径r=OB=2,故该四棱台外接球的表面积为16,D正确.11.C如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.因为SC是球的直径,所以SAC=SBC=90.又ASC=BSC=30,又SC为公共边,所以SACSBC.因为ADSC,所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=13SABDSC.由于在RtSAC中,ASC=30,SC=4,所以AC=2,SA=23.所以AD=SACASC=3.同理BD=3.又AB=3,所以ABD为正三角形.所以VS-ABC=13S
11、ABDSC=1312(3)2sin604=3,所以选C.12.160如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线A1C=15,B1D=9,a2+52=152,b2+52=92,a2=200,b2=56.该直四棱柱的底面是菱形,AB2=AC22+BD22=a2+b24=200+564=64,AB=8.直四棱柱的侧面积S=485=160.13.415如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知ODBC,OG=36BC.设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,三棱锥的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x.因为SABC=1223x3x=33x2,所以三棱锥的体积V=1
12、3SABCh=3x225-10x=325x4-10x5.令f(x)=25x4-10x5,x0,52,则f(x)=100x3-50x4.令f(x)=0,可得x=2,则f(x)在区间(0,2)上单调递增,在区间2,52上单调递减,所以f(x)max=f(2)=80.所以V380=415,所以三棱锥体积的最大值为415.14.解(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为两棱柱底面积之比,即9779也正确.15.43,203如图,任意转动该正方体,要使液面的形状都不可能是三角形,则液体的体积应大于三棱锥A1-ABD的体积,小于多面体BCDA1B1C1D1的体积.VA1-ABD=1312222=43,VBCDA1B1C1D1=8-43=203.液体体积的取值范围为43,203.
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