1、考点规范练24三角函数模型的应用一、基础巩固1.已知弹簧振子的振幅为2 cm,在6 s内振子通过的路程是32 cm,由此可知该振子振动的()A.频率为1.5 HzB.周期为1.5 sC.周期为6 sD.频率为6 Hz答案:B解析:振幅为2cm,振子在一个周期内通过的路程为8cm,易知在6s内振动了4个周期,故周期T=1.5s,频率f=1T=11.5=23Hz.2.一个直径为6 m的水轮如图所示,水轮圆心O距水面2 m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P到水面的距离y(单位:m)与时间x(单位:s)之间满足关系式y=Asin(x+)+2(A0,0),y0,0,|2)的模型波动(x为月份),已知3
2、月份达到最高价9 000元,9月份价格最低,为5 000元,则7月份的出厂价格为元.答案:6 000解析:作出函数简图如图,三角函数模型为y=Asin(x+)+B,由题意知A=12(9000-5000)=2000,B=7000,周期T=2(9-3)=12,则=2T=6.将点(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点,则有63+=2,得=0,故f(x)=2000sin6x+7000(1x12,xN*),即f(7)=2000sin76+7000=6000(元).故7月份的出厂价格为6000元.7.去年某地的月平均气温y(单位:)与月份x近似地满足函数解析式y=a+bsin(6x+)(a,b为常数,
3、02).其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为,=.x5811y/133113答案:-56解析:由题意,得当x=5+112=8时,sin(68+)=1.因为02,所以4343+0,|2,则下列叙述正确的是()A.=-3B.当t(0,60时,函数y=f(t)单调递增C.当t(0,60时,|f(t)|的最大值为33D.当t=100时,|PA|=6答案:AD解析:由题意,R=32+(-33)2=6,周期T=120,所以=2T=60.当t=0时,y=-33,把(0,-33)代入f(t),可得-33=6sin,解得sin=-32.因为|1cosx6,所以不合适.代入不合适,同理也
4、不合适,所以应选.三、探究创新10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮轮盘直径为124米,设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点时距离地面145米,匀速转动一周大约需要30分钟.以游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数解析式满足H(t)=Asin(t+)+B(A0,0,|2),求摩天轮转动一周对应的解析式H(t).(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,
5、在摩天轮转动一周的过程中,设两人距离地面的高度差为h米,求h的最大值.解:(1)由题意,H(t)=Asin(t+)+B(A0,0,|2),摩天轮的最高点距离地面为145米,最低点距离地面为145-124=21米,则B+A=145,B-A=21,得A=62,B=83.因为周期为30分钟,所以=230=15,则H(t)=62sin(15t+)+83.因为H(0)=62sin150+83=21,所以sin=-1,由于|2,得=-2.故H(t)=62sin15t-2+83(0t30).(2)H(t)=62sin15t-2+83=-62cos15t+83,令-62cos15t+83=52,则cos15t=12,得t=5(分钟).(3)经过t分钟后甲距离地面的高度为H1=-62cos15t+83,因为乙与甲间隔的时间为30366=5分钟,所以乙距离地面的高度为H2=-62cos15(t-5)+83(5t30),所以两人距离地面的高度差h=|H1-H2|=-62cos15t+62cos15(t-5)=62|sin(15t-6)|(5t30).当15t-6=2或15t-6=32,即t=10或t=25分钟时,h取最大值为62米.
