1、考纲解读 1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题(重点)2.掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测 2020年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.基础知识过关 1基本不等式设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为05 ab206ab07 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2利用基
2、本不等式求最值问题已知 x0，y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有值是2 p(简记：)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有值是p24(简记：)注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误01 最小02 积定和最小03 最大04 和定积最大3几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)baab2(a，b 同号)(3)abab22(a，bR)(4)ab22a2b22(a，bR)，2(a2b2)(ab)2(a，bR)(5)a2b22ab24ab(a，bR)(6)a2b22ab2 ab
3、 21a1b(a0，b0)1概念辨析(1)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的()(2)函数 yx1x的最小值是 2.()(3)函数 f(x)sinx 4sinx的最小值为 2.()(4)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件()2小题热身(1)已知 f(x)x1x2(x0)，则 f(x)有()A最大值 0 B最小值 0C最大值4D最小值4解析 因为 x0，所以x 1x2x 1x2，当且仅当x 1x即 x1 时等号成立所以 x1x2.所以 f(x)x1x24.即 f(x)有最大值4.答案 C答案 解析(2)设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为()A80B
4、77C81D82解析 由基本不等式 18xy2 xy9 xyxy81，当且仅当 xy时，xy 有最大值 81，故选 C.答案 C答案 解析(3)已知 lg alg b2，则 lg(ab)的最小值为()A1lg 2B2 2C1lg 2D2解析 由 lg alg b2，可知 a0，b0，则 lg(ab)2，即 ab100.所以 ab2 ab2 10020，当且仅当 ab10 时取等号，所以 lg(ab)lg 201lg 2.故 lg(ab)的最小值为 1lg 2.答案 A答案 解析(4)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积
5、最大解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m则 x2y30，所以 Sxy12x(2y)12x2y222252，当且仅当 x2y，即 x15，y152 时取等号答案 15 152答案 解析 经典题型冲关 题型 一 利用基本不等式求最值角度 1 直接应用1(2019沈阳模拟)已知 ab0，求 a21bab的最小值解 ab0，ab0.a21baba21bab22a24a22a2 4a24，当且仅当 bab，a22，ab0，即 a 2，b 22时取等号a21bab的最小值是 4.答案 角度 2 拼凑法求最值2求 f(x)4x214x5x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值为()A3 B4 C
6、.92 D.112答案 B答案 解析 因为 x0，y0，且 x2y2xy8，所以 x2y82xy8x2y22.整理得(x2y)24(x2y)320，解得 x2y4 或 x2y8.又 x2y0，所以 x2y4.故 x2y 的最小值为 4.解析 条件探究 把举例说明 3 的条件“x2y2xy8”改为“4xyx2y4”，其他条件不变，求 xy 的最小值解 因为 x0，y0 且 4xyx2y4，所以 4xy4x2y2 2xy.整理可得 2xy 2xy20.解得 2xy2 即 xy2，所以 xy 的最小值为2.答案 角度 4 常数代换法求最值(多维探究)4若直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)，则
7、 ab 的最小值等于()A2 B3 C4 D5答案 C答案 解析 解法一：因为直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)，所以1a1b1.所以 ab(ab)1a1b 2abba22abba4，当且仅当 ab2时取“”，所以 ab 的最小值为 4.解析 解法二：因为直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)，所以1a1b1，所以 b aa10，所以 a1，a10，所以 aba aa1aa11a1 a1 1a122a1 1a124.当且仅当 a1 1a1即 a2 时等号成立，所以 ab 的最小值为 4.解析 条件探究 将举例说明 4 条件变为“x0，y0 且1x9y1”，求 xy的最小值解 x0，
8、y0，y9 且 x yy9.xy yy9yyy99y9y 9y91(y9)9y910.y9，y90.答案 y9 9y9102y9 9y91016.当且仅当 y9 9y9，即 y12 时取等号又1x9y1，则 x4.当 x4，y12 时，xy 取最小值 16.答案 1拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件2通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方
9、法是消元后利用基本不等式求解如举例说明 4 解法二3常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为 1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式如举例说明 4 解法一(4)利用基本不等式求解最值 1若正数 x，y 满足 x23xy10，则 xy 的最小值是()A.23 B.2 23 C.33 D.2 33解析 对于 x23xy10 可得 y131xx，xy2x3 13x2292 23(当且仅当 x 22 时等号成立)故选 B.答案 B答案 解析 2(2018天津高考)已知 a，bR，且 a3b60，则 2a 1
10、8b的最小值为_答案 14答案 解析 因为 a3b60，所以 a3b6,2a 18b2a 123b2a23b22a23b22a3b22614当且仅当2a18b18，即a3，b1时取等号，所以 2a 18b的最小值为14.解析 题型 二 基本不等式的综合应用角度 1 基本不等式中的恒成立问题1当 x0，2 时，2sin2xasin2x10 恒成立，则实数 a 的取值范围是_答案(，3答案 解析 当 x0，2 时，sin2x0，原不等式可化为 asin2x2sin2x1，a2sin2x1sin2x.设 f(x)2sin2x1sin2x，则f(x)2sin2xsin2xcos2x2sinxcosx3
11、2tanx12tanx.解析 因为 x0，2，所以 tanx0.所以 f(x)32tanx12tanx232tanx12tanx 3，当且仅当32tanx12tanx，即 tanx 33 时等号成立，所以 f(x)min 3，所以 a 3.解析 角度 2 基本不等式与其他知识的综合问题2(2018西安模拟)若ABC 的内角满足 sinA 2sinB2sinC，则 cosC的最小值是()A.6 24B.6 24C.6 22D.6 22答案 A答案 解析 由正弦定理，得 a 2b2c.所以 cosCa2b2c22aba2b2a 2b222ab3a22b22 2ab8ab2 6ab2 2ab8ab
12、6 24.当且仅当 3a22b2，即 3a 2b 时，等号成立所以 cosC 的最小值为 6 24.解析 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略(1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较(2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举例说明 1.(3)与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等如举例说明2.1已知 f(x)32x(k1)3x2，当 xR 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是()A(，1)B(，2 21)C(1,2 21)
13、D(2 21,2 21)答案 B答案 解析 由 32x(k1)3x20 恒成立，得 k13x23x.3x23x2 2，k12 2，即 k2 21.解析 2设等差数列an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1d1，则Sn8an的最小值是()A.92B.72C2 212D2 212答案 A答案 解析 ana1(n1)dn，Snn1n2，Sn8an nn128n12n16n 1122n16n 1 92，当且仅当 n4 时取等号Sn8an 的最小值是92.故选 A.解析 题型 三 基本不等式在实际问题中的应用某厂家拟在 2017 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x
14、 万件与年促销费用 m 万元(m0)满足 x3km1(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是 1 万件已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2017 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；(2)该厂家 2017 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意知，当 m0 时，x1(万件)，13k，k2，x32m1.由题意可知每件产品的销售价格为 1.5816xx(元)，2017 年的利润 y
15、1.5x816xx816xm16m1m1 29(m0)答案(2)当 m0 时，16m1(m1)2 168，y82921，当且仅当 16m1m1，即 m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家 2017 年的促销费用投入 3(万元)时，厂家的利润最大为 21 万元解析 利用基本不等式求解实际问题的求解策略(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变
16、量的实际意义验证等号是否成立 (2018成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元答案 2 20答案 解析 设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为 y1 万元，仓储费为 y2万元，则 y1k1x(k10)，y2k2x(k20)，工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元，k15，k220，运费与仓储费之和为5x20 x 万元，5x20 x 25x20 x 20，当且仅当 5x20 x，即 x2 时，运费与仓储费之和最小，为 20 万元解析