1、押第18题 数列数列是高考每年必考的一个知识点,每年的高考试题中或者有1道解答题或者有2道客观题，若有2道客观题，其中有1道可能是难度较大的综合题，数列综合题考查热点是分段函数、数列求和、数列的最值、数列与函数、不等式的交汇.2021高考全国卷没有出现难度较大的数列综合题，预测2022高考全国卷出现难度较大的数列综合题的可能性比较大.1.数列与函数数列是一种特殊的函数,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最
2、值问题都可以通过求相应函数的最值的方法解决,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续.2若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an3数列中项的最值数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.在数列an中，若an最大，则若an最小，则4.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现anan1m时，构造等差数列；(2)当出现anxan1y时，构造等比数列；(3)当出现anan1f(n)时，用累加法求解；(4)当出现f(n)时，用累乘法求解5.解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列用作商比较法，根据(a
3、n0或an0)与1的大小关系进行判断结合相应函数的图象直观判断6.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值7.分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论8.错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时
4、应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解9.裂项求和(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：()，()，裂项后可以产生连续相互抵消的项(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项1（2021湖南高考真题）已知各项为正数的等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【详解】（1）且，（2）2（2021全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值【详解】(1)由
5、等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.3（2022上海高考真题）已知数列，的前项和为.(1)若为等比数列，求；(2)若为等差数列，公差为，对任意，均满足，求的取值范围.【解析】(1)解：，则，所以，等比数列的公比为，因此，.(2)解：由已知可得，则，即，可得.当时，可得；当时，则，所以，因为数列为单调递增数列，而，故.综上所述，.4（2021浙江高考真题）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项
6、和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）当时，当时，由，得，得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，得；时，得；所以.5（2021北京高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ，且；，（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；（2）若数列是数列，求；（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由【详解】(1)因 为 所以，因 为所 以所以数列，不可能是数列.(2)性质，由性质，因此或，或，若，由性质可知
7、，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因为或，所以或.若，则，不满足，舍去.当，则前四项为:0，0，0，1，下面用数学归纳法证明：当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，当时：若，则，利用性质：，此时可得：；否则，若，取可得：，而由性质可得：，与矛盾.同理可得：，有；，有；，又因为，有即当时命题成立，证毕.综上可得：，.(3)令，由性质可知：，由于，因此数列为数列.由（2）可知:若；，因此，此时，满足题意.1（2022河北石家庄一模）已知等差数列各项均为正数，公差，若分别从下表第一、二、三行中各取一个数，依次作为，且，中任何两个数都不在同一列.第一列第二列第三列第一行356第二行748第
8、三行11129(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.【解析】(1)由题意可知，数列为递增数列，又公差，所以， ，则可求出，.(2)，.2（2022湖南湖南二模）已知数列满足，.(1)求的通项公式.(2)证明.【解析】(1)解：由，得，由累加法得，所以，又满足，又因为，所以.(2)因为，所以当时，当时，成立，所以.3（2021福建省德化第一中学三模）从条件，中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答，已知数列满足(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列_的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】(1)因为，所以，因为，所以，因为，所以数列是以为首项，为公
9、比的等比数列；(2)由上可得，选：因为，所以，则，；选：因为，所以则，故；选：因为，所以，则，故.4（2022江苏南通模拟预测）已知数列是公差不为零的等差数列，是各项均为正数的等比数列，(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前10项的和注表示不超过x的最大整数【解析】(1)设的公差为d，的公比为q，由得：，而，解得，于是得，所以数列和的通项公式分别为，.(2)由（1）知，则有，依题意，令，则，两式相减得：，所以，即5（2022江苏海安高级中学二模）已知数列前n项积为，且(1)求证：数列为等差数列；(2)设，求证：【解析】(1)因为，所以，所以，两式相除，得，整理为，再整理得，所以数列为以
10、2为首项，公差为1的等差数列(2)因为，所以，由（1）知，故，所以所以又因为，所以（限时：30分钟）1已知数列的前项和为，点在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【详解】解：（1）由题意可知：，当，.又因为满足，所以；（2），所以.2已知数列中，且满足.（1）设，证明：是等差数列；（2）若，求数列的前项和.【详解】（1），是以为首项，公差的等差数列；（2）由（1）得：，整理可得：，是以为首项，公比的等比数列，得：，得：，.3数列中，是的前n项和，是等差数列，（1）求和的通项公式；（2）设求的前n项和.【详解】（1）由数列中，满足，当时，两式相减，可得，即，当时，解得
11、，所以数列是等比数列，所以数列的通项公式为.又由是等差数列，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以，可得令，则，两式相减，可得，所以，又因为，所以.4已知等差数列的前项和为，数列的项和为.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2021项和.【详解】（1）设的公差为，由，得.解得，所以.时，也符合上式，所以.（2），注意取偶数时，所以15已知数列，是的前项的和，且满足，数列是等差数列，.（1）求，的通项公式；（2）设数列的前项和为，设，求的前项的和.【详解】（1）由数列中，满足，当时，两式相减，可得，即，当时，解得，所以数列是等比数列，所以数列的通项公式为.又由是等差数列，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，则，所以，则，即.
