1、第9课时曲线与方程1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2掌握常见的求曲线方程的方法【梳理自测】一、曲线与方程1f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2方程(xy)2(xy1)20表示的是()A一条直线和一条双曲线 B两条双曲线C两个点 D以上答案都不对答案：1.C2.C以上题目主要考查了以下内容：一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是方程f(x，y)0的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲
2、线的方程，这条曲线叫做方程的曲线二、直接法求轨迹方程1若M，N为两个定点，且|MN|6，动点P满足0，则P点的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线2已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则P点的轨迹方程是_3过圆x2y24上任一点P作x轴的垂线PN，N为垂足，则线段PN中点M的轨迹方程为_答案：1.A2.y2x3.y21以上题目主要考查了以下内容：(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0.化方程f(x，y)0为最简形式
3、说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上(2)两曲线的交点由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点【指点迷津】1一个核心问题通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题2二个检验方向求出轨迹方程后，从两个方面检验曲线上所有点的坐标都适合方程；方程的解表示的点都是曲线上的点3五种方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0；(2)待
4、定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程对应学生用书P161考向一直接法求轨迹方程已知两点M(1,0
5、)，N(1,0)，且点P使，成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程【审题视点】首先设出点P坐标为(x，y)，然后计算各个数量积，根据题目已知直接表示等量关系，整理求得点P的轨迹方程【典例精讲】设点P(x，y)，则(x1，y)，(x1，y)，(2,0)故2(x1)，(x1)(x1)y2x2y21，2(x1)2(1x)，成公差小于零的等差数列，2(x2y21)2(x1)2(1x)且2(1x)2(x1)4x0，整理得x2y23(x0)故点P的轨迹方程为x2y23(x0)【类题通法】运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除
6、多余的点，这是不能忽视的；(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略1如图所示，已知F(1,0)，直线l：x1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且.求动点P的轨迹C的方程解析：设点P(x，y)，则Q(1，y)，(x1，y)，(x1,0)，(2，y)，由，得(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得C：y24x.考向二用定义法求轨迹方程已知点A，点B是圆F：2y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程【审题视点】由线段的垂直平分线定义转化为椭圆的定义，求椭圆方程【典例精讲】如图，连接PA，依题意可知|PA|PB|.|PA
7、|PF|PB|PF|BF|21. P点轨迹为以A，F为焦点，长半轴长为1的椭圆其方程可设为1.又c，a1，b2a2c2.故P点的轨迹方程为x2y21.【类题通法】在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围2已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程解析：如图，设动圆半径为r.|MC1|r1，|MC2|r3，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312.这表明动点M到
8、两定点C2、C1的距离的差是常数2，且小于|C1C2|6.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a1，c3，则b28.设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x21(x1)考向三相关点(代入)法求轨迹设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程【审题视点】设N(x1，y)，M(x0,0)，P(0，y0)，由已知条件，建立x0，y0与x，y之间的关系：用x、y表示x0及y0代入x0与y0的关系式【典例精讲】设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)， (1，y0)，(x0，y0)(1，
9、y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即.x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.【类题通法】“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程3已知ABC的两个顶点为A(2,0)，B(0，2)，第三个顶点C在曲线y3x21上移动，求ABC重心的轨迹方程解析：设ABC的重心G(x，y)，C(x0，y0)，则即点C在y3x21上，y03x1.3y23(3x2)21，整理得y9x212x3.ABC重心的轨迹方程为y9
10、x212x3.(2014山东高考专家原创卷)已知抛物线y22px经过点M(2，2)，椭圆1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，(0)，试求Q的轨迹【审题视点】根据抛物线及椭圆的性质求其方程，利用直接法求Q点轨迹方程【思维流程】代入法求P.利用离心率的定义及a、b、c之间的关系，求a与b，写椭圆方程设Q点，进而设P点，并转换两点坐标把Q、P点坐标代入已知等式，并整理方程根据x2的系数为正数、负数、零讨论曲线特征【规范解答】(1)因为抛物线y22px经过点M(2，2)，所以(2)24p，解得p22
11、分所以抛物线的方程为y24x，其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1, 0)，得c1.又椭圆的离心率为，所以a2，可得b2413，故椭圆的方程为1.6分(2)设Q(x，y)，其中x2,2，设P(x，y0)，因为P为椭圆上一点，所以1，解得y3x2.由可得2，故2，得x22y23，x 2,2.9分当2，即时，得y212，点Q的轨迹方程为y2，x2,2，此轨迹是两条平行于x轴的线段；当2，即0时，得到1，此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x2,2的部分；11分当2，即时，得到1，此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x2,2的部分.12分 【规范建议】(1)在第(1)问中要有代入过程及求解a、b的
12、过程(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题1(2013高考全国新课标卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解析：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.2(2013高考陕西卷)已知动点M(x
13、，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率. 解析：(1)如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|，由此得|4x|2，化简得1，动点M的轨迹C的方程为1.(2)方法一：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图.将ykx3代入1中，有(34k2)x224kx240，其中，(24k2)424(34k2)96(2k23)0，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.又A是PB的中点，故x22x1.将代入，得x1，x，可得2，且k2，解得k或k，直线m的斜率为或.方法二：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图.A是PB的中点，x1，y1.又1，1，取立，解得或即点B的坐标为(2,0)或(2,0)，直线m的斜率为或.
