1、第3课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决对应学生用书P98【梳理自测】一、二元一次不等式表示的平面区域如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是()A.B.C. D.答案：A此题主要考查了以下内容：(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界
2、直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示直线AxByC0哪一侧的平面区域二、线性规划1已知变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值为()A12 B11C3 D12已知变量x，y满足条件，则zxy的最小值为_，最大值为_3设x，y满足约束条件则zx2y的取值范围为_答案：1.B2.243.3，3以上题目主要考查了以下内容：线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的
3、一次不等式(或方程) 组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【指点迷津】1一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，由于对在直线AxByC0同侧的点，实数AxByC的值的符号都相同，故为确定AxByC的值的符号，可采用特殊点法，如取原点(0，1)、(1，0
4、)等点2两个注意(1)注意边界的虚实(2)求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx通过求直线的截距的最值间接求出z的最值要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值3四个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值对应学生用书P99考向
5、一二元一次不等式(组)表示的区域(2013高考北京卷)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是()A.B.C. D.【审题视点】作出可行域图，使直线x2y2穿过区域时求m的变化范围【典例精讲】当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x02y02，因此m0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含yx1上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线yx1的下方即可，即mm1，解得m.【答案】C【类题通法】(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因
6、而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分(2)根据平面区域，判断其形状，求相应的边界点坐标，相关长度等，利用相对位置求参数1(2014北京市海淀区高三调研)不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为()A 2 B1C0 D1解析：选D.注意到直线kxy0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kxy0与直线xy40垂直时满足题意，于是有k(1)1，由此解得k1，选D.考向二简单的线性规划问题(2014夏银川高三模拟)已知求：(1)zx2y4的最大值；(2)zx2y210y25的最小值；(3)z的范围【审题视点】(1)转化为直线平移问题；(2)区域内的点到(0
7、，5)的距离；(3)区域内的点与点连线的斜率【典例精讲】作出可行域如图，并求出交点的坐标A(1，3)、B(3，1)、C(7，9)(1)易知可行域内各点均在直线x2y40的上方，故将C(7，9)代入zx2y4得最大值为21.(2)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2.(3)z2表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的两倍，因为kQA，KQB，所以z的范围为.【类题通法】与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的范围、最值、距离等问题的求解一般是结合给定代数式的几何意义来完成常见代
8、数式的几何意义有：(1)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(3)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值；(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值2(1)(2013高考全国新课标卷)设x，y满足约束条件则z2x3y的最小值是()A7B6C5 D3(2)(2013高考江西卷)若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_解析：(1)本题可先画出可行域，然后根据图象确定出最小值点进行解答作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2x3y过点C时，z取得最小值由得zmin23346，故选B.(2)如
9、图，阴影部分为封闭区域作直线2xy0，并向左上平移，过点A时，2xy最小，由得A(1，2)，(2xy)min2(1)24.答案：(1)B(2)4考向三线性规划的实际应用某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元B36 000元C36 800元 D38 400元【审题视点】把车辆数、人数作为约束条件，把租金数作为目标函数，用线性规划求最小值【典例精讲】先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解
10、决设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z1 600x2 400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin36 800(元)【答案】C【类题通法】1.线性规划的实际应用问题的解法线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题2求解步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l；(2)平移将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；(3)求值解方程组求出A点的坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求
11、出最值3(2012高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元C2 800元 D3 100元解析：选C.设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则z300x400y.作出可行域，如图阴影部分所示，作直线300x400y0，向右上平移过点A时，z300x400y取最大值，由
12、得A(4，4)，zmax300440042 800.对应学生用书P100目标函数的直线位置不准确致误(2013高考广东卷)给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线【正解】画出平面区域D(图中阴影部分)，zxy取得最小值时的最优整数解为(0，1)，取得最大值时的最优整数解为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)点(0，1)与(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4， 0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0
13、)都在直线xy4上，故T中的点共确定6条不同的直线【答案】6【易错点】目标函数zxy和约束条件边界，线xy4平行，z取最大值的最优解不只是(0，4)有的错认为z取最大值的最优解只是边界或端点位置有的把zxy的直线错画成与yx平行的直线【警示】利用线性规划求目标函数，zaxby的最值时，务必要分清直线zaxby与各边界线的相对位置1(2013高考全国新课标)已知a0，x，y满足约束条件，若z2xy的最小值为1，则a()A.B.C1 D2解析：选B.本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值点进行解答作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin2
14、2a1，解得a，故选B.2(2013高考四川卷)若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是()A48 B30C24 D16解析：选C.先将不等式2yx4转化为x2y4，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数y的最优解，进而求得a，b的值由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z5yx，得y.由图知目标函数y，过点A(8，0)时，zmin5yx5088，即b8.目标函数y过点B(4，4)时，zmax5yx54416，即a16.ab16(8)24，故选C.3(2013高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1C D解析：选C.画出图形，数形结合得出答案如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影部分由得A(3，1)当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM.4(2013高考北京卷)设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为_解析：作出不等式组表示的可行域，利用数形结合思想求解不等式组表示的区域D如图阴影部分所示由图知点P(1，0)与平面区域D上的点的最短距离为点P(1，0)到直线y2x的距离d.答案：
