1、第4课时数列求和1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法对应学生用书P88【梳理自测】1(教材改编)等比数列an的公比q，a81，则S8()A254B255C256 D2572如果数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为3的等比数列，则an等于()A. B.C. D.3数列a12，ak2k，a1020共有十项，且其和为240，则a1aka10的值为()A31 B120C130 D1854(教材改编)数列1，的前n项和Sn_.5数列(1)nn的前2 012项和S2 012为_答案：1.B2.C3.C4.5.1 006以上题目主要考
2、查了以下内容：数列的求和方法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和等差数列的前n项和公式：Snna1；等比数列的前n项和公式：Sn(2)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(5)分组转化求和法一个数列
3、的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解【指点迷津】1一种思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和2三项注意(1)裂项求和，把通项裂开后，注意检查是否恰好等于相应的两项之差(2)裂项求和，注意总结正负抵消的规律(3)错位相减求和，注意错位的项及相减后的结果对应学生用书P89考向一分组转化求和(2014温州市高三调研)
4、已知an是递增的等差数列，a12，aa48.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan2an，求数列bn的前n项和Sn.【审题视点】求出an后，bn可看作两个数列an与2an对应项之和，故SnSnTn.【典例精讲】(1)设等差数列的公差为d，d0.由题意得，(2d)223d8，d2d0(d3)(d2)0，得d2.故ana1(n1)d2(n1)22n，得an2n.(2)bnan2an2n22n.Snb1b2bn(222)(424)(2n22n)(2462n)(222422n)n(n1).【类题通法】(1)分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等
5、差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和(2)anbncn或an，数列bn， cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和(3)若数列有周期性，先求出一个周期内的和，再转化其它数列(常数列)求和1(2014合肥市高三质检)已知数列an满足anan1an2an324，且a11，a22，a33，则a1a2a3a2 013_解析：由anan1an2an324可知，an1an2an3an424，得an4an，所以数列an是周期为4的数列，再令n1，求得a44，每四个一组可得(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 011a2 012)a2 0131050315 031.答案
6、：5 031考向二裂项相消法求和(2014南昌市高三模拟)设正项数列an的前n项和是Sn，若an和都是等差数列，且公差相等(1)求an的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列bn的前三项，记数列cn，数列cn的前n项和为Tn，求Tn.【审题视点】利用为等差数列，求出a1与d的关系，确定an，从而可求bn和cn，用裂项法求Tn.【典例精讲】(1)设an的公差为d，则Snna1，即，由是等差数列得到：，则d且d2a10，所以d，所以a1，an(n1).(2)由b1a1，b2a2，b3a5，得等比数列bn的公比q3，所以bn3n1，所以cn，Tn11.【类题通法】1.应用裂项相消法应注意的问
7、题使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的2常见的裂项公式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)()2(2014黑龙江哈尔滨三模)已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn，nN*.(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn.解析：(1)证明：2Snaan.当n1时，2a1aa1，a10，a11.当n2时，2Sn1aan1.得，2anaaanan1，(anan1)(anan1)(anan1)0.an0，anan11，d1.an1 (n1)1
8、n.(2)bn，Tnb1b2b31.考向三错位相减法求和(2014武汉市高三调研)已知正项数列an，其前n项和Sn满足6Sna3an2，且a1，a2，a3是等比数列bn的前三项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tna1bna2bn1anb1，nN*，证明：3Tn12bn1an1(nN*)【审题视点】利用SnSn1an确定an的性质可求an与bn，用错位相减法求Tn，再寻找与bn1和an1的关系【典例精讲】(1)6Sna3an2，6a1a3a12，解得a11或a12.又6Sn1a3an12(n2)，由，得6an(aa)3(anan1)，即(anan1)(anan13)0.anan10，a
9、nan13(n2)当a12时，a25，a617，此时a1，a2，a6不成等比数列，a12；当a11时，a24，a616，此时a1，a2，a6成等比数列，a11.an3n2，bn4n1.(2)由(1)得Tn14n144n2(3n5)41(3n2)40，4Tn14n44n174n2(3n2)41.由，得3Tn4n3(4n14n241)(3n2)4n12(3n2)24n(3n1)12bn1an11，3Tn12bn1an1(nN*)【类题通法】(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2
10、)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式3(2014南昌市二模)等差数列an中，公差d0，已知数列ak1，ak2，ak3，akn，是等比数列，其中k11，k27，k325.(1)求数列ak1，ak2，ak3，akn，的公比；(2)求数列nkn的前n项和Sn.解析：(1)由题意得a2k2ak1ak3，即aa1a25，(a16d)2a1(a124d)，所以36d212a1d，即3d2a1d.因为公差d0，所以a13d，所以an(n2)d，所以等比数列ak1，ak2，ak3，akn，的公比q3.(2)由akn(kn2)d3d3n1，得
11、kn3n2.则Sn(131232333n3n)2(123n)，记Tn131232333n3n，则3Tn132233334n3n1，相减得2Tn332333nn3n1，即Tn，所以Snn(n1)对应学生用书P90分项数奇偶性的数列的通项与求和等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.【方法分析】题目条件：等比数列an的前三项是表中的数字，新数列bn是由an计
12、算出来的解题目标：()从表中选出可构成等比数列的三个数，则可得an.()化简bn，求其和关系转化：()从不同行且不同列中各选一个数组成等比数列，即满足aa1a3.()因n的奇偶性不同，(1)nln a的符号不同，故分n的奇偶性后，分组转化，an为等比数列，ln an为等差数列【解答过程】(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318.所以公比q3.故an23n1.(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)n
13、nln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn【回归反思】(1)从表中选数字组成等比数列，就是试验法，先确定a2，再看是否满足aa1a3.(2)当an为等比数列，且an0时，则ln an为等差数列(3)对于通项中含有(1)n的符号变化的要分n的奇偶性求和1(2013高考全国新课标卷)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an1BSn3an2CSn43an DSn32an解析：选D.可以直
14、接利用等比数列的求和公式求解，也可以先求出通项和前n项和，再建立关系方法一：在等比数列an中，Sn32an.方法二：在等比数列an中，a11，q，an1.Sn3332an.2(2013高考辽宁卷)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_解析：因为a1，a3是方程x25x40的两个根，且数列an是递增的等比数列，所以a11，a34，q2，所以S663.答案：633(2013高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664，27128，则n17，即n6.答案：64(2013高考广东卷)等差数列an中，a74，a192a9.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解析：(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.因为所以解得所以an的通项公式为an.(2)因为bn，所以Sn.