1、第1课时平面向量的概念及线性运算1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义对应学生用书P67【梳理自测】一、向量的概念及线性运算1若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量2若mn，nk，则向量m与向量k()A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线3D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC. D.答案：1.C2.D3.A以上题目主要考查了以下内容： (
2、1)向量的有关概念向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模零向量：长度为零的向量，其方向是任意的单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量：长度相等且方向相反的向量(2)向量的加法与减法向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a(b)ababa(b)二、向量的数乘及共线向量1设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_2已知向量a，b，且
3、a2b，5a6b，7a2b，共线的三点是_答案：1.2.A、B、D以上题目主要考查了以下内容：(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.(3)共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba【指点迷津】1一个顺序一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量2两个要素向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系
4、同向且等长的有向线段都表示同一向量或者说长度相等、方向相同的向量是相等的向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小3三个注意(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2)注意向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合(3)注意0与0的区别0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行00是无意义的，000而不能为0.对应学生用书P68考向一平面向量的概念给出下列五个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|
5、b|，则ab；在ABCD中，一定有；若mn，np，则mp；若ab，bc，则ac.其中不正确的个数是()A2B3C4 D5【审题视点】以概念为依据判定正确性，用反例来否定正确性【典例精讲】两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故不正确；|a|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故不正确；、正确；零向量与任一非零向量都平行，当b0时，a与c不一定平行，故不正确【答案】B【类题通法】(1)平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方
6、法(2)几个重要结论相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；平行向量与起点无关；向量不能比较大小，但它们的模可以比较大小1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相
7、等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.答案：考向二平面向量的线性运算(1)(2014山东高考原创卷)如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()AabB.abCab D.ab(2)(2014烟台模拟)若O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且20，那么()A. B.2C.3 D2【审题视点】(1)用平行四边形法则求解(2)利用三角形性质及向量的运算法则求解【典例精讲】(1)连接OC、OD、CD，由点C、D是
8、半圆弧的三等分点，有AOCCODBOD60，且OAOCOD，则OAC与OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以ab.(2)如图，2又20222.【答案】(1)D(2)A【类题通法】1.平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则2两个重要结论(1)向量的中线公式：若P为线段AB中点，则()(2)向量加法的多边形法则An1An.2(2014郑州模拟)已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m()A2 B3C4 D5解析：选B.由0，易得M是ABC的重心，且重心M分中线AE的
9、比为AMME21，2m，2，m3.考向三共线向量定理及应用设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值【审题视点】(1)推证“”形式(2)利用时，待定k.【典例精讲】(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2，又有公共点B，A，B，D三点共线(2)由(1)可知e14e2，且3e1ke2，由B，D，F三点共线，所以存在实数，使得，即3e1ke2e14e2，得解得k12，k12.【类题通法】1.共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，
10、也可以由向量共线求参数的值(2)若a，b不共线，则ab0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若，则A、B、C三点共线3(2014山东高考原创卷)已知向量a，b是两个不共线的向量，若1ab，a2b(1，2R)，则“A，B，C三点共线”是“1210”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.A，B，C三点共线等价于，共线，根据向量共线的充要条件知，、共线，即存在实数，使得，即a2b(1ab)，由于向量a，b不共线，根据平面向量的基本定理得11且2，消掉，得1210.故“A，B，C三点共线”是“1210”的充分必要
11、条件对应学生用书P69向量共线与其方向关系不清致误(2014郑州模拟)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d同向，则实数的值为_【正解】由于c与d同向，所以ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，所以1或.又因为k0，所以0，故1.【答案】1【易错点】解答本题时，由于对两个向量共线、同向、反向的概念理解不清，混淆它们之间的关系，导致错解：认为有两解【警示】两个向量共线，是指两个向量的方向相同或相反，也称它们为平行向量，因此共线包含两种情况：同向共线或反向共线在求解相关问题时要注意区分三者一般地，若ab，那么a
12、与b共线；当0时，a与b同向；当0时，a与b反向1(2012高考辽宁卷)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()AabBabC|a|b| Dabab解析：选B.|ab|ab|表示平行四边形对角线相等，此时平行四边形为矩形，ab.2(2013高考广东卷)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1
13、B2C3 D4解析：选C.利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断对于，若向量a，b确定，因为ab是确定的，故总存在向量c，满足cab，即abc，故正确；对于，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数，满足abc，故正确；对于，如果abc，则以|a|，|b|，|c|为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数确定，则一定存在单位向量c和实数满足abc，故正确；对于，如果给定的正数和不能满足“以|a|，|b|，|c|为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误故选C.3(2013高考四川卷)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_解析：根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解由向量加法的平行四边形法则，得.又O是AC的中点，AC2AO，2，2.又，2.答案：24(2013高考江苏卷)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_解析：利用平面向量的加、减法的运算法则将用，表示出来，对照已知条件，求出1，2的值即可由题意()，于是1，2，故12.答案：