1、复数的概念【概念认知】1复数的概念形如abi(a，bR)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位，满足i21；复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部2复数的分类(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示3复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等当且仅当ac且bd【自我小测】1(1)i的实部与虚部分别是()A1， B1，0C0，1 D0，(1)i【解析】选C.(1)i可看作0(1)iabi，所以实部a0，虚部b1.2如果(xy)ix1，则实数x，y的值分别为()Ax1
2、，y1 Bx0，y1Cx1，y0 Dx0，y0【解析】选A.因为(xy)ix1，所以所以x1，y1.3若xii2y2i，x，yR，则复数xyi()A2i B2iC12i D12i【解析】选B.由i21，得xii21xi，则由题意得1xiy2i，根据复数相等的充要条件得x2，y1，故xyi2i.4下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若(x21)(x23x2)i(xR)是纯虚数，则x1；两个复数不能比较大小其中错误命题的序号是_【解析】当a1时，(a1)i0，故错误；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则即x1，故错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，中忽视了这一特殊情况，故错答案
3、：5已知x2ix62i5x，若xR，则x_；若xC，则x_【解析】当xR时，由复数相等的充要条件得解得x2；当xC时，令xabi(a，bR)，则有解得或所以x2或x3i.答案：23i或26实数x取什么值时，复数z(x22x15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数【解析】(1)当x22x150，即x3或x5时，复数z为实数；(2)当x22x150，即x3且x5时，复数z为虚数；(3)当x2x60且x22x150，即x2时，复数z是纯虚数【基础全面练】一、单选题1设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数abi为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必
4、要条件【解析】选B.abi为纯虚数，则a0，b0，此时ab0；反之ab0不能得出a0，b0.所以“ab0”是“复数abi为纯虚数”的必要不充分条件2若a，bR, 且ab，那么()Aaibi BaibiCai2bi2 Dbi2ai2【解析】选D.虚数不能比较大小，故A，B错；因为 i21，ab，所以 ai2bi2，故C错D对3如果zm(m1)(m21)i为纯虚数，则实数m的值为()A1 B0C1 D1或1【解析】选B.由题意知解得m0.二、填空题4以i的虚部为实部，以8i2i的实部为虚部的复数是_【解析】i的虚部为，8i2i8i的实部为8.答案：8i5满足方程x22x3(9y26y1)i0的实数
5、对(x，y)表示的点的个数为_【解析】由题意知解得或所以实数对(x，y)表示的点有，共有2个答案：2三、解答题6已知复数z(m23m2)(m2m6)i，则当实数m为何值时，复数z(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数【解析】(1)当m2m60，即m3或m2时，z为实数(2)当m2m60，即m2且m3时，z是虚数(3)当即m1时，z是纯虚数【综合突破练】一、选择题1已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有实根n，且zmni，则复数z()A3i B3iC3i D3i【解析】选B.由题意，知n2(m2i)n22i0，即n2mn2(2n2)i0，所以解得所以z3i.2已知复数zxyi，则
6、()Az20Bz的虚部是yiC若z12i，则x1，y2Dz为实数时，xy0【解析】选C.对于A选项，取zi，则z210恒成立，所以(a21)i是纯虚数，故B正确；若a0，则ai不是纯虚数，故C错误；m4时，复数lg (m22m7)(m25m6)i42i是纯虚数，故D正确二、填空题5若log2(x23x2)ilog2(x22x1)1，则实数x的值是_【思路导引】复数值大于1，则复数必为实数，即虚部为0，实部大于1 .【解析】因为log2(x23x2)ilog2(x22x1)1，所以即解得x2.答案：26复数zcos isin ，且，若z是实数，则的值为_；若z为纯虚数，则的值为_【解析】zcos
7、 isin sin icos .当z是实数时， cos 0，因为，所以；当z为纯虚数时又，所以0.答案：0三、解答题7已知集合M(a3)(b21)i，8，集合N3i，(a21)(b2)i，且MNM，MN，求整数a，b的值【解析】若MN3i，则(a3)(b21)i3i，即a30且b213，即a3，b2.当a3，b2时，M3i，8，N3i，8，MNM，不合题意，舍去；当a3，b2时，M3i，8，N3i，84i，符合题意，所以a3，b2.若MN8，则8(a21)(b2)i，即a218且b20，得a3，b2.当a3，b2时，不合题意，舍去；当a3，b2时，M63i，8，N3i，8，符合题意所以a3，b2.若MN(a3)(b21)i(a21)(b2)i，则即此方程组无整数解综上可得a3，b2或a3，b2.