1、第四讲 用数学归纳法证明不等式二 用数学归纳法证明不等式举例1理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明的基本步骤(难点)2会运用数学归纳法证明不等式(重点)1对于关于自然数的不等式，也可以用数学归纳法证明：第一步是验证当nn0(n0为不等式成立的起始自然数)时不等式成立；第二步是假设当nk(kN*，kn0)时，不等式成立，证明当nk1时，不等式也成立2贝努利(Bernoulli)不等式：设xR，且x1，x0，n为大于1的自然数，那么有_.3贝努利不等式的一般形式当指数n推广到任意实数时，x1时，若01，则_.若1，则_.当且仅当x0时等号成立(1x)n1nx(1x)1x(1x)1x1在应用贝努利不
2、等式时应注意什么？提示：在应用贝努利不等式时要注意应用条件x1，且x0.2用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证_解析：由题意知n3，所以应验证n3.答案：n33用数学归纳法证明anbn2ab2n(a，b 是非负实数，nN*)时，假设 nk 时不等式akbk2ab2k(*)成立，再推证n k 1 时 不 等 式 也 成 立 的 关 键 是 将(*)式 两 边 同 乘_解析：对比 k 与 k1 时的结论可知，两边只需同乘ab2 即可答案：ab2对贝努利(Bernoulli)不等式的理解：当指数n推广到任意实数时，x1时，若01，则(1x)1x.若1，则(1x)1x.当且仅当x0时等
3、号成立用数学归纳法证明一般的不等式设 n1(nN*)，求证：1n 1n1 1n21.思路点拨：不等式左边的分母是连续变化的，共有 n2n1 项，从 n2 开始验证证明：(1)当 n2 时，左边12131413121.n2 时不等式成立(2)假设 nk(k2，且 kN*)时，不等式成立，即1k 1k1 1k21k21，那么 nk1 时，k2k1k1225410.1k11k111k121.当 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)可知，对一切的 n2 且 nN*，此不等式都成立【授之以渔】数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由nk到nk1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等
4、关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到nk时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程1用数学归纳法证明：1 122 132 1n221n(n2，nN)证明：(1)当 n2 时，1 1225421232，命题成立(2)假设当 nk(k2，且 kN*)时命题成立，即 1 122 1321k221k，当 nk1 时，1 122 132 1k21k1221k 1k1221k 1kk121k1k 1k12
5、 1k1，命题成立由(1)(2)知原不等式在 n2 且 nN 时均成立与数列有关的不等式的证明设数列an满足 an1a2nnan1，n1,2,3，.(1)当 a12 时，求 a2，a3，a4，并由此猜想出 an 的一个通项公式(2)当 a13 时，证明对所有的 n1，有ann2；11a111a211an12.思路点拨：本题由递推公式先计算前几项，然后再进行猜想，最后用数学归纳法进行证明；对于(2)中的第题，要利用数学归纳法进行证明；利用放缩法证明(1)解：由 a12，得 a2a21a113；由 a23，得 a3a222a214；由 a34，得 a4a233a315.由此猜想：ann1(nN*)
6、(2)证明：用数学归纳法证明：当 n1 时，a1312，不等式成立；假设当 nk(k1)时，不等式成立，即 akk2.那么当 nk1 时，ak1a2kkak1ak(akk)1(k2)(k2k)12(k2)1k3(k1)2，也就是说，当 nk1 时，ak1(k1)2.综上可得，对于所有 n1，有 ann2.由 an1an(ann)1 及，对 k2，有 akak1(ak1k1)1ak1(k12k1)12ak112(2ak21)122ak22123ak32221，ak2k1a12k2212k1a12k112k1(a11)1.于是 1ak2k1(a11)11ak11a1 12k1(k2)11a111a
7、211an11a111a112 122 12n111a1112 122 12n1 21a11 12n 2n1对一切正整数 n 成立证明：(1)当 n1 时，a12 211，不等式成立(2)假设当 nk(k1)时，ak 2k1成立当 nk1 时，a2k1a2k 1a2k22k3 1a2k2(k1)1，当 nk1 时，ak1 2k11成立综上，当 nN*时，an 2n1对一切正整数 n 都成立关于n的不等式的探索性的证明已知函数(x)x11，f(x)(ab)xaxbx，其中a，bR，a1，b1，ab，且 ab4.(1)求函数(x)的反函数 g(x)；(2)对于任意 nN*，试指出 f(n)与 g(
8、2n)的大小关系，并证明你的结论思路点拨：欲比较f(n)与g(2n)的大小，需求出f(n)与g(2n)的关于n的表达式解答此类问题的一般思路是由特殊到一般：从n1,2,3，特殊探路，寻找、归纳出一般性结论，再用数学归纳法证明解：(1)由 y x11 得 x1y1(y1)，有 x1(y1)2，即 xy22y，故 g(x)x22x(x1)(2)f(n)(ab)nanbn，g(2n)4n2n1，当 n1 时，f(1)0，g(2)0 有 f(1)g(2)当 n2 时，f(2)(ab)2a2b22ab8，g(22)42238，有 f(2)g(22)当 n3 时，f(3)(ab)3a3b33a2b3ab2
9、3ab(ab)3ab2 ab48.g(23)432448，有 f(3)g(23)当 n4 时，f(4)(ab)4a4b44a3b4ab36a2b24ab(a2b2)6a2b24ab2ab6a2b214a2b2224，g(24)4425224，有 f(4)g(24)由此推测当 1n2 时，f(n)g(2n)，当 n3 时，f(n)g(2n)下面用数学归纳法证明当 n3 时，由上述计算过程知结论成立；假设 nk 时，推测成立，即 f(k)g(2k)(k3)，即(ab)kakbk4k2k1，那么 f(k1)(ab)k1ak1bk1(ab)(ab)kaakbbk(ab)(ab)kakbkakbabk.
10、又依题设 ab2 ab4.akbabk2 akbabk2(ab)k12 2k2，有 f(k1)4(ab)kakbk2k24(4k2k1)2k24k12k2g(2k1)，即 nk1 时，推测也成立由知 n3 时，f(n)g(2n)都成立【授之以渔】利用数学归纳法证明探索型不等式的思路(1)观察不等式各项的特点，先用初始值验证得出符合条件的未知数的值(2)判断是否符合题意，若符合，则猜想出一般结论(3)按照数学归纳法的步骤，利用数学归纳法证明(4)得出结论，问题解决这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在性或探索性问题时3比较2n与n2的大小(nN*)解：当n1时，2112，当n
11、2时，2222，当n3时，2352，猜想：当n5时，2nn2.下面用数学归纳法证明：(1)当 n5 时，2552 成立(2)假设 nk(kN*，k5)时，2kk2，那么 2k122k2k2kk2(11)kk2C0kC1kCk1kk22k1(k1)2.当 nk1 时，2nn2 也成立由(1)(2)可知，对 n5 的一切自然数 2nn2 都成立综上，当 n1 或 n5 时，2nn2；当 n2,4 时，2nn2；当 n3 时，2nn2.易错误区系列(七)对不等式证明的第二步中，不用假设结论，而直接推证【典例】若 an 12 23 nn1，nN*.求证：nn12ann122对于 nN*都成立【错解】(
12、1)当 n1 时，a1 2，1112 21122.即当 n1 时结论成立(2)假设当 nk(k1)时，结论成立即kk12akk1k22.又 ak1ak k1k2k222，当 nk1 时，结论也成立由(1)(2)知，对一切 nN*，不等式成立【错因】错误出在(2)中，从nk成立，证明nk1成立时没有进行推证，而是直接写出结论，这样是不符合数学归纳法要求的【正解】(1)同上(2)假设当 nk(k1)时，结论成立即kk12akkk12 k1k2kk12(k1)k1k112.又 ak1ak k1k2k122 k1k2k122 k23k2k122k322k222k1122.对 nk1 时，结论仍然成立由(1)(2)知，对 nN*不等式成立【纠错心得】使用数学归纳法时，必须用上归纳假设【成功破障】已知数列an，an0，a10，a2n1an11a2n.求证：当 nN*时，anan1.证明：(1)当 n1 时，因为 a2 是方程 a22a210 的正根，所以 a1a2.(2)假设当 nk(kN*，k1)时，0ak0，得 ak1ak2，即当 nk1 时，anan1 也成立根据(1)和(2)，可知 anan1 对任何 nN*都成立点击进入WORD链接谢谢观看！