1、第三讲 柯西不等式与排序不等式三 排序不等式1了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题2体会运用经典不等式的一般思想方法1顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组：a1a2an，b1b2bn，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任意一个排列(1)顺序和：a1b1a2b2anbn(2)乱序和：a1c1a2c2ancn(3)反序和：a1bna2bn1anb12排序不等式(排序原理)设有两个有序实数组：a1a2an，b1b2bn，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当a1a2an
2、或b1b2bn时，反序和等于顺序和1使用排序不等式的关键是什么？提示：使用排序不等式，关键是出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系2如图所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和解析：这可沿图中线段MN向上翻折比较即知当然由图我们可知，阴影面积a1b1a2b2，而空白面积a1b2a2b1.根据顺序和反序和可知答案答案：3已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则1c12c23c3的最大值是_，最小值是_解析：答案：220 180对应关系和备注(1,2,3)(25,3
3、0,45)S1a1b1a2b2a3b3220(最大值)顺序和(1,2,3)(25,45,30)S2a1b1a2b3a3b2205乱序和(1,2,3)(30,25,45)S3a1b2a2b1a3b3215乱序和(1,2,3)(30,45,25)S4a1b2a2b3a3b1195乱序和(1,2,3)(45,25,30)S5a1b3a2b1a3b2185乱序和(1,2,3)(45,30,25)S6a1b3a2b2a3b1180(最小值)反序和1对排序不等式的证明的理解对排序不等式的证明中，用到了“探究猜想检验证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的
4、问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的2排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题利用排序不等式求最值设 a，b，c
5、为正数，求 abc bca cab的最小值思路点拨：先不妨设定大小顺序，再找 1bc，1ca，1ab的大小顺序，用排序不等式证明解：不妨设 abc，于是 abcabc.又abc，1bc 1ca 1ab，由排序不等式：顺序和乱序和得abc bca cab bbc cca aab，abc bca cab cbc aca bab，两式相加得 2abc bca cab 3.abc bca cab32.当且仅当 abc 时，等号成立 abc bca cab的最小值为32.【授之以渔】利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小
6、顺序，分清顺序和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可一般最值是顺序和或反序和1设 a1，a2，a3 为正数，且 a1a2a31，求a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2 的最小值解：不妨设 a3a1a20，则 1a3 1a1 1a2，a1a2a2a3a3a1.设乱序和 Sa1a3a3 a1a2a1 a3a2a2 a1a2a31，顺序和 Sa1a2a3 a2a3a1 a3a1a2.由排序不等式得a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2 a1a2a31.a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2 的最小值为 1.利用排序不等式证明不等式设 a1，a2，an 互不相同且
7、为正整数，求证：112131na1a222a332ann2.证明：设 b1，b2，bn 是 a1，a2，an 的一个排列，且满足 b1b2 122 132 1n2，由排序不等式，得a1a222a332ann2b1b222b332bnn2112 1223 132n 1n2112131n.【授之以渔】利用排序不等式证明不等式的策略(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和，利用排序不等式证明即可(2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列
8、起来，继而用不等关系来解题2设 a1，a2，an 为 1,2，n 的一个排列求证：1223n1n a1a2a2a3an1an.证明：设 b1，b2，bn1 是 a1，a2，an1 的一个排列，且 b1b2bn1.c1，c2，cn1 为 a2，a3，an 的一个排列，且 c1c21c2 1cn1.由乱序和反序和得a1a2a2a3an1an b1c1b2c2bn1cn1.b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n，b1c1b2c2bn1cn11223n1n，即1223n1n a1a2a2a3an1an.易错误区系列(六)弄错题意而未正确使用排序不等式而致错【典例】设 ak(k1,2，n)
9、为实数，cia1，a2，an(i1,2，n)，试比较i1naici 与i1na2i的大小【错解】i1naicia1c1a2c2a3c3ancn，而 cia1，a2，an，即 a1c1，a2c2，ancn，i1naicii1na2i.【错因】不理解 cia1，a2，an的含义，错误地认为 aici 即 a1c1，a2c2，ancn，而实际 ci 即 c1，c2，cn 是 a1，a2，an 的任一排列【正解】由题意知 c1，c2，cn 是 a1，a2，an 的任一排列，不妨设 a1a2a3an，任一乱序和 Sa1c1a2c2ancn，顺序和 Sa1a1a2a2anana21a22a2n，由排序原理
10、可得 SS，a1c1a2c2ancna21a22a2n，当且仅当 a1c1，a2c2，ancn 时取“”i1naicii1na2i.【纠错心得】要利用排序不等式比较大小的量或求最值的关键是找出两组有序数组，然后根据反序和乱序和顺序和求解【跟踪训练】已知 a，b，c 为正数，用排序不等式证明a2b2b2c2c2a2abcabc.证明：不妨设 bac0，abbcac，abc0.ababcbcabcacabc.由排序不等式可得ab2abc bc2abc ac2abc abbcabc bcacabc acababcabcabcabc，a2b2b2c2a2c2abcabc.点击进入WORD链接谢谢观看！
