1、2016-2017学年宁夏育才中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）A13iB1+3iC13iD1+3i2设A=x|x22x30，B=x|x2+ax+b0，若AB=R，AB=（3，4，则有（）Aa=3，b=4Ba=3，b=4Ca=3，b=4Da=3，b=43平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=（）ABC4D124已知数列an中，a1=，an=1（n1），则a2016的值为（）AB5CD25已知a，b，c满足4a=
2、9，b=log5，c3=，则（）AabcBbcaCcabDcba6函数f（x）=aex1+1的图象在点（1，f（1）处的切线斜率为，则实数a=（）ABC3D37莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（）ABCD8已知下列命题：（1）“cosx0”是“tanx0”的充分不必要条件；（2）命题“存在xZ，4x+1是奇数”的否定是“任意xZ，4x+1不是奇数”；（3）已知a，b，cR，若ac2bc2，则ab其中正确命题的个数为（）A0B1C2D39若x，y满足，则2x+y的最大值
3、为（）A0B3C4D510函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）Ay=sin2xBy=cos2xCy=sin（2x+）Dy=sin（2x）11在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，CE的延长线交AB于点F，若=+，则+=（）ABCD112设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）9f（3）0的解集为（）A（2019，2016）B（2019，2016）C（2019，+）D（，2019）二、填空题：本大题共4小题
4、，每小题5分13已知（x+m）dx=1，则函数f（x）=logm（3+2xx2）的单调递减区间是14已知函数f（x）=sinxa（0x）的三个零点成等比数列，则log2a=15已知函数y=的值域为0，+），则实a的取值集合为16设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M0，使|f（x）|M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”现给出下列函数：f（x）=2x； f（x）=x21； f（x）=sinx；f（x）=cosxf（x）=其中是“倍约束函数”的有（将符合条件的函数的序号都写上）三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在数列an中，a1=1
5、，点在函数f（x）=x+3的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=（1）n，求数列bn的前n项和Sn18如图，在ABC中，B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cosADC=（1）求sinBAD；（2）求BD，AC的长19已知xR，设，记函数（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，求ABC的面积S的最大值20已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a53b2=7（）求an和bn的通项公式；（）设cn=anbn，nN*，求数列cn的前n项和21已知函数f（x）
6、=+alnx，aR（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x，1时，f（x）的最小值是0，求实数a的值选修44：坐标系与参数方程22已知曲线C： +=1，直线l：（t为参数）（）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程（）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值选修4-5：不等式选讲23选修45：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|x1|log2a（其中a0）（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围2016-2017学年宁夏育才中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，
7、每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）A13iB1+3iC13iD1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的除法以及乘方运算化简求解即可【解答】解：，复数z的对应点为（1，1），可得z=1+i，则z2=2i=13i故选：C2设A=x|x22x30，B=x|x2+ax+b0，若AB=R，AB=（3，4，则有（）Aa=3，b=4Ba=3，b=4Ca=3，b=4Da=3，b=4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先将A化简运算，结合已知，求出B=x|x2+ax+b0=x|1x4，利用韦达定理求
8、解【解答】解：A=x|x22x30=x|（x3）（x+1）0=x|x1或x3，若AB=R，AB=（3，4，则B=x|x2+ax+b0=x|1x4，所以1，4是方程x2+ax+b=0的两根，由韦达定理a=3，b=4故选D3平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=（）ABC4D12【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12，|a+2b|=故选：B4已知数列an中
9、，a1=，an=1（n1），则a2016的值为（）AB5CD2【考点】数列递推式【分析】利用a1=，an=1（n1），可得an=an+3，利用周期性即可求解【解答】解：数列an中，a1=，an=1（n1），得a2=1=5，a3=1=，a4=1=，an=an+3，则a2016=a2013+3=a3=故选：C5已知a，b，c满足4a=9，b=log5，c3=，则（）AabcBbcaCcabDcba【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：4a=9，a1，b=log50，c3=，则c（0，1）bca故选：B6函数f（x）=aex1+1的图象在点（1，f（1）处
10、的切线斜率为，则实数a=（）ABC3D3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求导数，利用函数f（x）=aex1+1的图象在点（1，f（1）处的切线斜率为，建立方程，即可求出a的值【解答】解：由题意，求导得：f（x）=aex1，因为函数f（x）=aex1+1的图象在点（1，f（1）处的切线斜率为，所以f（1）=a=，即a=3，故选C7莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（）ABCD【考点】数列的应用【分析】设五个人所分得的面包为a2d，ad，a，a+d，a+2d，
11、（d0）；则由五个人的面包和为100，得a的值；由较大的三份之和的是较小的两份之和，得d的值；从而得最小的1分a2d的值【解答】解：设五个人所分得的面包为a2d，ad，a，a+d，a+2d，（其中d0）；则，（a2d）+（ad）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，a=20；由（a+a+d+a+2d）=a2d+ad，得3a+3d=7（2a3d）；24d=11a，d=55/6；所以，最小的1分为a2d=20=故选A8已知下列命题：（1）“cosx0”是“tanx0”的充分不必要条件；（2）命题“存在xZ，4x+1是奇数”的否定是“任意xZ，4x+1不是奇数”；（3）已知a，b，cR，若a
12、c2bc2，则ab其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据三角函数的性质判断（1），根据没提到否定判断（2），根据不等式的性质判断（3）【解答】解：（1）若x在第三象限，则tanx0，不是充分条件，故（1）错误；（2）命题“存在xZ，4x+1是奇数”的否定是“任意xZ，4x+1不是奇数”，故（2）正确；（3）已知a，b，cR，若ac2bc2，则ab，故（3）正确；故选：C9若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A0B3C4D5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值
13、范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）设z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=12+2=4即目标函数z=2x+y的最大值为4故选：C10函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）Ay=sin2xBy=cos2xCy=sin（2x+）Dy=sin（2x）【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】
14、通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出，函数过（），结合的范围，求出，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果【解答】解：由图象知A=1， T=，T=2，由sin（2+）=1，|得+=f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin2（x）+=sin（2x），故选D11在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，CE的延长线交AB于点F，若=+，则+=（）ABCD1【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】推导出=，从而得到=（）+，由此能求出结果【解答】解：取BF的中点G，连结DG，D是BC中点，E是AD中点，CE的延长线交AB于点F，=，=（）
15、+=，=+，+=故选：A12设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）9f（3）0的解集为（）A（2019，2016）B（2019，2016）C（2019，+）D（，2019）【考点】几何概型【分析】通过观察2f（x）+xf（x）x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，得到2xf（x）+x2f（x）x3，这时不等式的左边是（x2f（x），所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（，0）上是减函数；再由F（x+2016）=（x+2016）2f（x+20
16、16），F（3）=9f（3），且不等式（x+2016）2f（x+2016）9f（3）0可变成F（x+2014）F（3），解这个不等式即可，这个不等式利用F（x）的单调性可以求解【解答】解：由2f（x）+xf（x）x2，（x0）；得：2xf（x）+x2f（x）x3，即x2f（x）x30；令F（x）=x2f（x）；则当x0时，F（x）0，即F（x）在（，0）上是减函数；F（x+2016）=（x+2016）2f（x+2016），F（3）=9f（3）；即不等式等价为F（x+2016）F（3）0；F（x）在（，0）是减函数；由F（x+2016）F（3）得，x+20163，x2019；又x+20160，x
17、2016；2019x2016原不等式的解集是（2019，2016）故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知（x+m）dx=1，则函数f（x）=logm（3+2xx2）的单调递减区间是（1，1）【考点】定积分【分析】求出m的值，根据复合函数同增异减的原则，求出函数g（x）的递增区间即可【解答】解：（x+m）dx=1，（x2+mx）=1，解得：m=，故f（x）=（3+2xx2），令g（x）=x2+2x+3=（x3）（x+1），令g（x）0，解得：1x3，而g（x）在对称轴x=1，故g（x）在（1，1）递增，故f（x）在（1，1）递减故答案为（1，1）14已知函数f（x）=sinxa（
18、0x）的三个零点成等比数列，则log2a=【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】设函数的零点分别为的三个零点从小到大依次为x1，x2，x3，结合y=sinx的图象可得，由，解得x2=的值，可得a的值，从而求得log2a的值【解答】解：函数f（x）=sinxa（0x）的三个零点成等比数列，设它的零点分别为的三个零点从小到大依次为x1，x2，x3，结合y=sinx的图象可得，则，解得x2=，a=sin=，log2a=log2=log2=，故答案为：15已知函数y=的值域为0，+），则实a的取值集合为aR|a1【考点】函数的值域【分析】要使值域为0，+），需要x22x+a的最小值小于等于0，求解即
19、可【解答】解：由题意：保证y=的值域为0，+），需要x22x+a的最小值小于等于0即可设g（x）=x22x+a，由二次函数的性质可知：当x=1时，g（x）取得最小值即g（x）min0，即1+a0解得：a1故答案为：aR|a116设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M0，使|f（x）|M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”现给出下列函数：f（x）=2x； f（x）=x21； f（x）=sinx；f（x）=cosxf（x）=其中是“倍约束函数”的有（将符合条件的函数的序号都写上）【考点】函数的值【分析】由已知得“倍约束函数”中，对任意xR，存在正数K，都有 M成立，由此分别对给
20、出的函数一一判断，能求出结果【解答】解：对任意xR，存在正数M，都有|f（x）|M|x|成立对任意xR，存在正数K，都有 M成立对于，f（x）=2x， =2，故是“倍约束函数”；对于，当x21时， =|x|=（x21），故不存在满足条件的M值，故不是“倍约束函数”；对于，f（x）=sinx，由于x=0时，|f（x）|M|x|不成立，故不是“倍约束函数”；对于，f（x）=sinx，由于x=0时，|f（x）|M|x|不成立，故不是“倍约束函数”；对于，f（x）=，=1，故是“倍约束函数”故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在数列an中，a1=1，
21、点在函数f（x）=x+3的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=（1）n，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过将点代入函数方程f（x）=x+3，变形可得=3，即可得到是以1为首项，3为公差的等差数列，问题得以解决，（2）bn=（1）n=（1）n（3n2），得到Sn=1+47+10+（1）n（3n2），分n为偶数或n为奇数求出和【解答】解：（1）点在函数f（x）=x+3的图象上，=3，又a1=1，是以1为首项，3为公差的等差数列，=1+3（n1）=3n2，an=，（2）bn=（1）n=（1）n（3n2），Sn=1+47+10+（1）n（3n2），当n
22、为偶数时，Sn=（1+4）+（7+10）+（1）n（3n2）=3=，当n为奇数时，Sn=1+（47）+（1013）+（1）n（3n2）=13=综上所述Sn=18如图，在ABC中，B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cosADC=（1）求sinBAD；（2）求BD，AC的长【考点】余弦定理的应用【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论【解答】解：（1）在ABC中，cosADC=，sinADC=，则sinBAD=sin（ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB=（2）在ABD中，由正弦定理得BD=，在ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB22AB
23、BCcosB=82+5228=49，即AC=719已知xR，设，记函数（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，求ABC的面积S的最大值【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【分析】（1）先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出ab3，根据三角形的面积公式即可求出答案【解答】解：（1）= 当f（x）取最小值时，kZ，所以，所求x的取值集合是 （2）由f（C）=2，得，因
24、为0C，所以，所以， 在ABC中，由余弦定理c2=a2+b22abcosC，得3=a2+b2abab，即ab3，所以ABC的面积，因此ABC的面积S的最大值为20已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a53b2=7（）求an和bn的通项公式；（）设cn=anbn，nN*，求数列cn的前n项和【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（）设出数列an的公比和数列bn的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列cn的前n项和【解答】解：（）设数列an的公
25、比为q，数列bn的公差为d，由题意，q0，由已知有，消去d整理得：q42q28=0q0，解得q=2，d=2，数列an的通项公式为，nN*；数列bn的通项公式为bn=2n1，nN*（）由（）有，设cn的前n项和为Sn，则，两式作差得： =2n+13（2n1）2n=（2n3）2n321已知函数f（x）=+alnx，aR（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x，1时，f（x）的最小值是0，求实数a的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小
26、值即可【解答】解：（1）f（x）=，a0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，则f（x）的单调递减区间为（0，+），a0时，令f（x）0得：0x，则f（x）的单调递减区间为（0，） （2）a1时，f（x）在，1上单调递减，f（x）min=f（1）=10，无解，a2时，f（x）在，1上单调递增，f（x）min=f（）=2+aln=0，解得：a=2，适合题意； 1a2时，f（x）在，上单调递减，1上单调递增，f（x）min=f（）=a+aln=0，解得：a=e，舍去；综上：a=选修44：坐标系与参数方程22已知曲线C： +=1，直线l：（t为参数）（）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程（）过曲线
27、C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系【分析】（）联想三角函数的平方关系可取x=2cos、y=3sin得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（）设曲线C上任意一点P（2cos，3sin）由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值【解答】解：（）对于曲线C： +=1，可令x=2cos、y=3sin，故曲线C的参数方程为，（为参数）对于直线l：，由得：t=x2，代入并整理得：2x+y6=0；（）设曲线C上任意一点
28、P（2cos，3sin）P到直线l的距离为则，其中为锐角当sin（+）=1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin（+）=1时，|PA|取得最小值，最小值为选修4-5：不等式选讲23选修45：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|x1|log2a（其中a0）（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）当a=4时，不等式即|2x+1|x1|2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集，即得所求（）化简f（x）=|2x+1|x1|的解析式，求出f（x）的最小值为，则由，解得实数a的取值范围【解答】解：（）当a=4时，不等式即|2x+1|x1|2，当时，不等式为x22，解得当时，不等式为 3x2，解得 当x1时，不等式为x+22，此时x不存在综上，不等式的解集为（）设f（x）=|2x+1|x1|=，故，即f（x）的最小值为所以，当f（x）log2a有解，则有，解得，即a的取值范围是2017年2月11日
