1、2015-2016学年安徽省蚌埠二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号用2铅笔涂在答题卡中相应位置，否则，该题不予记分1如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D2在ABC中，已知sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C，则A等于（）A30B60C120D1503与不等式同解的不等式是（）A（x3）（2x）0Blg（x2）0CD（x3）（2x）04已知等差数列an的前n项和为Sn，a8=1，S16=0，当Sn取最大值时n的值为（）A7B8C9D1
2、05数列an满足：an+1=an1（nN*，R且0），若数列an1是等比数列，则的值等于（）A1B1CD26若a，b都是正数，则的最小值为（）A7B8C9D107在ABC中，若（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sinC，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形8已知数列an的通项公式且数列an为递增数列，则实数k的取值范围是（）Ak0Bk1Ck2Dk39设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A3B4C5D610已知a1a2a30，则使得（1aix）21（i=1，2，3）都成立的x取值范围是（）ABCD11设
3、an=sin，Sn=a1+a2+an，在S1，S2，S100中，正数的个数是（）A25B50C75D10012如果数列an满足a1=2，a2=1，且（n2），则这个数列的第10项等于（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填写在答题卷相应横线上13的最小值是14设等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn，则=15在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=1，c=2，C=60，若D是边BC上一点且B=DAC，则AD=16已知数列an是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且an=（nN*），A=a1a2+a2a3a3a4+a4a5+a2na2n+1，
4、则A=三、解答题：本小题共6小题，共70分解答须写出说明、证明过程和演算步骤17解不等式01，并求适合此不等式的所有整数解18ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知b2=ac，（1）求的值；（2）设，求a+c的值19如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC
5、=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？20设无穷等差数列an的前n项和为Sn（）若首项a1=，公差d=1求满足的正整数k；（）求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有成立21数列an的通项an=n2（cos2sin2），其前n项和为Sn（1）求Sn；（2）bn=，求数列bn的前n项和Tn22设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足an+12=4Sn+4n3，且a2，a5，a14恰好是等比数列bn的前三项（1）求数列an、bn的通项公式；（2）记数列bn的前n项和为Tn，若对任意的nN*，（Tn+）k3n6恒成立，求实数k的取值范围2015
6、-2016学年安徽省蚌埠二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号用2铅笔涂在答题卡中相应位置，否则，该题不予记分1如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D【考点】不等关系与不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由于ab0，不妨令a=2，b=1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论【解答】解：由于ab0，不妨令a=2，b=1，可得=1，故A不正确可得ab=2，b2=1，abb2，故B不正确可得ab=2，a2=4，aba2，故C不正确故
7、选D【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题2在ABC中，已知sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C，则A等于（）A30B60C120D150【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b及c的关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出的关系式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：根据正弦定理=2R，化简已知的等式得：a2=b2+bc+c2，即b2+c2a2=bc，根据余弦定理得：cosA=，又A为三角形
8、的内角，则A=120故选C【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键3与不等式同解的不等式是（）A（x3）（2x）0Blg（x2）0CD（x3）（2x）0【考点】一元二次不等式的应用【专题】计算题【分析】先解得不等式的解集，再逐一解得各个答案的解集，进行比较即可【解答】解：解不等式，得，2x3，A、不等式（x3）（2x）0的解集是2x3，故不正确B、不等式lg（x2）0的解集是2x3，故正确C、不等式的解集是2x3，故不正确D、不等式（x3）（2x）0的解集是2x3，故不正确故选B【点评】解一元一次不等式
9、的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项、合并同类项；（4）系数化成14已知等差数列an的前n项和为Sn，a8=1，S16=0，当Sn取最大值时n的值为（）A7B8C9D10【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】设公差为d，由a8=1，S16=0可求出d=2，a1=15，即可得到an=172n，可得数列an前8项都是正数，以后各项都是负数，可得答案【解答】解：设公差为d，a8=1，S16=0，S16=16a1+=16a1+120d=0，a8=a1+7d=1，d=2，a1=15，an=a1+（n1）d=172n，当an=172n0时，即n
10、8.5，故当Sn取最大值时n的值为8，故选：B【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，从数列的项的正负入手是解决问题的关键，属基础题5数列an满足：an+1=an1（nN*，R且0），若数列an1是等比数列，则的值等于（）A1B1CD2【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；函数思想；同一法；等差数列与等比数列【分析】把已知数列递推式变形，由数列an1是等比数列求得的值【解答】解：由an+1=an1，得由于数列an1是等比数列，得=2，故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题6若a，b都是正数，则的最小值为（）A7B8C9D10【考点】基本不等式【专题】转化
11、思想；综合法；不等式【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a，b都是正数，则=5+5+2=9，当且仅当b=2a0时取等号故选：C【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7在ABC中，若（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sinC，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断【专题】计算题；解三角形【分析】利用两角和与差的三角函数以及正弦定理，化简整理推出sin2A=sin2B，从而得出出A与B的关系，由此即可得到三角形的形状【解答】解：（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sinC，（
12、a2+b2）（sinAcosBcosAsinB）=（a2b2）（sinAcosB+cosAsinB），可得sinAcosB（a2+b2a2+b2）=cosAsinB（a2b2+a2+b2）即2b2sinAcosB=2a2cosAsinB（*）根据正弦定理，得bsinA=asinB化简（*）式，得bcosB=acosA即2RsinBcosB=2RsinAcosA，（2R为ABC外接圆的半径）化简得sin2A=sin2B，A=B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90因此ABC是等腰三角形或直角三角形故选：D【点评】本题考查三角形的形状的判断，两角和与差的三角函数的应用，正弦定理的应用，考查计
13、算能力8已知数列an的通项公式且数列an为递增数列，则实数k的取值范围是（）Ak0Bk1Ck2Dk3【考点】数列的函数特性【专题】计算题【分析】若数列an为单调递增数列，则an+1an0对于任意nN*都成立，得出2n+1+k0，采用分离参数法求实数k的取值范围；【解答】解：an=n2+kn+2an+1=（n+1）2+k（n+1）+2得an+1an=2n+1+k若数列an为单调递增数列，则an+1an0对于任意nN*都成立，即 2n+1+k0移项可得k（2n+1），k只需大于（2n+1）的最大值即可，而易知当n=1时，（2n+1）的最大值为3，所以k3k3故选D；【点评】本题考查递增数列的函数性
14、质，考查了转化思想、计算能力，分离参数法的应用，是一道好题；9设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A3B4C5D6【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am，进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1，再由通项公式及am=2可得m值【解答】解：am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3，所以公差d=am+1am=1，Sm=0，得a1=2，所以am=2+（m1）1=2，解得m=5，故选C【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系，考
15、查学生的计算能力10已知a1a2a30，则使得（1aix）21（i=1，2，3）都成立的x取值范围是（）ABCD【考点】一元二次不等式的应用【分析】先解出不等式（1aix）21的解集，再由a1a2a30确定x的范围【解答】解：，所以解集为，又，故选B【点评】本题主要考查解一元二次不等式属基础题11设an=sin，Sn=a1+a2+an，在S1，S2，S100中，正数的个数是（）A25B50C75D100【考点】数列的求和；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；压轴题【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，a240，a26，a27，a490，f（n）=单调递
16、减，a25=0，a26a50都为负数，但是|a26|a1，|a27|a2，|a49|a24，从而可判断【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，a240，a25=0，a26，a27，a490，a50=0且sin，sin但是f（n）=单调递减a26a49都为负数，但是|a26|a1，|a27|a2，|a49|a24S1，S2，S25中都为正，而S26，S27，S50都为正同理S1，S2，s75都为正，S1，S2，s75，s100都为正，故选D【点评】本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用12如果数列an满足a1=
17、2，a2=1，且（n2），则这个数列的第10项等于（）ABCD【考点】数列递推式【专题】综合题【分析】由题设条件知，所以，由此能够得到为等差数列，从而得到第10项的值【解答】解：，=（），=，即为等差数列，（n2）然后可得d=，故选C【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填写在答题卷相应横线上13的最小值是【考点】基本不等式【分析】先将化为形式，但是不能直接用基本不等式求最值，因为等号取不到，可采用导数判单调性求最值【解答】解：，则t2，则y=0，所以在2，+）上是增函数，所以在2，+）上的最小值是2+=故答案为：【
18、点评】本题主要考查利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时要注意等号是否能取到，容易出错14设等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn，则=【考点】等比数列的前n项和【专题】计算题【分析】由等比数列的通项公式及求和公式可得=代入可求【解答】解：q=2，=故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题15在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=1，c=2，C=60，若D是边BC上一点且B=DAC，则AD=【考点】解三角形【专题】数形结合；数形结合法；解三角形【分析】在ABC中使用正弦定理解出B，得出sinADC，在ACD中使用正弦定理解出AD
19、【解答】解：在ABC中，由正弦定理得，即，解得sinB=cosB=sinBAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=B=DAC，ADC=B+BAD=DAC+BAD=BACsinADC=sinBAC=在ACD中，由正弦定理得，即，解得AD=故答案为【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题16已知数列an是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且an=（nN*），A=a1a2+a2a3a3a4+a4a5+a2na2n+1，则A=8n2+4n【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由已知条件利用等
20、差数列的性质求出a1=1，d=2，从而得到an=2n1，由此能求出A=a1a2+a2a3a3a4+a4a5+a2na2n+1的值【解答】解：数列an是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且an=（nN*），=S2n1，分别令n=1，n=2，得，解得a1=1，d=2，an=2n1，A=a1a2+a2a3a3a4+a4a5+a2na2n+1a2（a3a1）+a4（a5a3）+a2n（a2n+1a2n1）=4（a2+a4+a2n）=8n2+4n故答案为：8n2+4n【点评】本题考查等差数列的若干项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用三、解答题：本小题共6小题，共7
21、0分解答须写出说明、证明过程和演算步骤17解不等式01，并求适合此不等式的所有整数解【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用【分析】圆不等式转化为，求出解集，再判断适合此不等式的所有整数解【解答】解：01，解得0x3，且x1，故不等式的解集为x|0x3，且x1故适合此不等式的所有整数解x=2【点评】本题考查适合于不等式的整数解的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和一元二次不等式的性质的合理运用，是中档题18ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知b2=ac，（1）求的值；（2）设，求a+c的值【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；
22、三角函数的化简求值；正弦定理【专题】计算题【分析】（1）利用正弦定理化简b2=ac，得到一个关系式，再由cosB的值及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，根据诱导公式得到sin（A+C）=sinB，然后将所求的式子两分母分别利用同角三角函数间的基本关系切化弦，整理后，将sin（A+C）=sinB及得到的关系式代入，得到关于sinB的关系式，再将sinB的值代入即可求出值；（2）由a，c及cosB的值，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，得到ac的值，进而由b2=ac确定出b2的值，再利用余弦定理表示出cosB，将cosB，b2与ac的值代入，利用完全平方公式
23、变形后再将ac的值代入，即可求出a+c的值【解答】解：（1）b2=ac，由正弦定理得：sin2B=sinAsinC，又cosB=，且B为三角形的内角，sinB=，又sin（A+C）=sinB，+=+=；（2）=，cosB=，accosB=ac=，即ac=2，b2=ac=2，cosB=，（a+c）2=9，则a+c=3【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键19如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然
24、后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【考点】余弦定理；正弦定理【专题】应用题；数形结合；分析法；解三角形【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理即可得解【解答】解：（1）在ABC中
25、，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin（A+C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，由正弦定理=，得AB=1040m所以索道AB的长为1040m（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得：d2=（100+50t）2+（130t）22130t（100+50t）=200（37t270t+50）=20037（t）2+，因0t，即0t8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的
26、思想，属于解直角三角形题型20设无穷等差数列an的前n项和为Sn（）若首项a1=，公差d=1求满足的正整数k；（）求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有成立【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题【分析】（），由得，又k是正整数，所以k=4（）设数列的公差为d，则在中分别取k=1，2得，由此能求出只有3个满足条件的无穷等差数列【解答】解：（）首项a1=，公差d=1，由得，即，k是正整数，k=4（）设数列的公差为d，则在中分别取k=1，和k=2得，即由得a1=0或a1=1，当a1=0时，代入得d=0或d=6若a1=0，d=0则本题成立；若a1=0，d=6，则an=6（n1），由S3=
27、18，（S3）2=324，S9=216知S9（S3）2，故所得数列不符合题意；当a1=1时，代入得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2若a=1，d=0则an=1，Sn=n从而成立；若a1=1，d=2，则an=2n1，Sn=n2，从而成立综上所述，只有3个满足条件的无穷等差数列：an=0； an=1；an=2n1【点评】本题考查等差数列的性质和应用，具体涉及到等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化21数列an的通项an=n2（cos2sin2），其前n项和为Sn（1）求Sn；（2）bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；二倍角
28、的余弦【专题】计算题；压轴题【分析】（1）利用二倍角公式可得，由于，所以求和时需要对n分类讨论，求出和（2）由（1）可得，利用错位相减求出数列的和【解答】解：（1）由于，故S3k=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a3k2+a3k1+a3k）=，故（kN*）（2），两式相减得，故【点评】（1）本题三角公式中的二倍角公式及三角的周期性为切入点考查数列的求和，由于三角的周期性，在求的值时需要对n分类讨论（2）主要考查数列求和的错位相减，此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点22设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足an+12=4Sn+4n3，且a2，a5，a14恰好是等比数列
29、bn的前三项（1）求数列an、bn的通项公式；（2）记数列bn的前n项和为Tn，若对任意的nN*，（Tn+）k3n6恒成立，求实数k的取值范围【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）根据an+12=4Sn+4n3得，当n2时，an2=4Sn1+4（n1）3，两个式子相减利用an与Sn的关系化简，由等差数列的定义得：当n2时，an是公差为2的等差数列，再由条件求出a2、a1的值，从而求出an，由等比数列的通项公式求出bn；（）由（）和等比数列的前n项和公式得：Tn=，代入不等式（Tn+）k3n6再分离参数得：，令，利用作差确定数列cn的单调性，求出数列的最大值即可【解答】解：（）
30、由题意得，an+12=4Sn+4n3，当n2时，an2=4Sn1+4（n1）3，两个式子相减得，an+12an2=4an+4，即an+12=（an+2）2，又an0，an+1=an+2，当n2时，an是公差为2的等差数列，因为a2，a5，a14构成等比数列，所以，即，解得a2=3，把n=1代入an+12=4Sn+4n3得，解得a1=2，又a2a1=322，则数列an是从第二项起以2为公差的等差数列，所以数列an 的通项公式为an=，由题意知，b1=a2=3，b2=a5=9，b3=a14=27，且bn是等比数列，所以bn的通项公式bn=3n；（2）由（1）得，bn=3n，所以数列bn的前n项和为Tn=，因为对任意的nN*，（Tn+）k3n6恒成立，所以（+）k3n6对任意的nN*恒成立，即对任意的nN*恒成立，令，则=，当n2时，cn+1cn，当n3时，cn+1cn，所以的最大项是c3=，所以【点评】本题考查了an与Sn的关系，等差数列、等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，数列的恒成立转化为求数列的最大项问题，通过作差研究数列的单调性也是常用的方法，难度较大，一定要注意n的取值范围