1、吉林省顶级名校2022届高三上学期期中考试数学试卷(理科) 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷一、选择
2、题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集，（ ） A BCD2已知向量，若，则（ ） A2 B C6D 3已知l、m是两条不同的直线，是平面，则“”是“” 的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4已知服从正态分布N(，2)的随机变量在区间(，)，(2，2)和(3，3)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布N(165,52)，则适合身高在155175 cm范围内的校服大约要定制( ) A683套
3、 B954套 C972套 D997套5设i是虚数单位，若zi2z，则() A B C D6在中，则的形状为（ ） A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形7已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是() A5 B6 C7 D88函数的大致图象是（ ） AB CD 9已知，则（ ） A B C D10已知球，过其球面上，三点作截面，若点到该截面的距离是球半径的一半，且，则球的表面积为（ ） A BCD11已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与C交于两点.若，则C的离心率为（ ） A BCD12已知函数
4、的定义域为 ，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A B C D 第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13_；14已知实数满足约束条件，则的最大值为_；15已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为_；16刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋
5、顶的面积为_.三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。（一）必考题：第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。17.（本题满分12分）设等差数列的公差为，为的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（本题满分12分）)很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分、6分、3分、2分的新规定设置了一份试卷(满分100分)，发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需
6、要加强学习，成绩不低于95分的为合格(1)求这12名新手的平均成绩与方差；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列与数学期望.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，CD2AB4，AD，PAB为等腰直角三角形，PAPB，平面PAB底面ABCD，E为PD的中点.（1）求证：AE平面PBC；（2）求二面角AEBC的余弦值.20.（本题满分12分）已知函数（）（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）函数在区间上满足，求a的取值范围21.（本题满分12分）已
7、知椭圆C：1(ab0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：xy0与以原点为圆心， 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1k24，证明：直线AB过定点.，并求出该定点.（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22.（本题满分10分） 选修44：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.（1）求直线的直角坐标方程，及曲线的
8、普通方程；（2）若点，求的值.23.（本题满分10分） 选修45: 不等式选讲 已知函数.（1）解不等式;（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围.数学试卷(理科)参考答案一、选择题123456789101112BACBDABDBACA二、填空题13. 14. 6 15. . 16. 32三、解答题17. （1）（2）【详解】解：（1），为与的等比中项，即，由，所以，数列的通项公式为.（2）由（1）得，.18. （1）平均数92分，方差；（2）分布列见解析，数学期望为3.【详解】(1)这12名新手的成绩分别为68,72,88,95,95,96,96,97,98,99,100,100，则平均成绩
9、为(68728895959696979899100100)1292，其方差为(9268)2(9272)2(9288)22(9295)22(9296)2(9297)2(9298)2(9299)22(92100)2(24220242232242526272282).(2)抽取的12名新手中，成绩低于95分的有3个，成绩不低于95分的有9个，故抽取的12名新手中合格的频率为，故从该市新手中任选1名合格的概率为.X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则 P(X0)C0404， P(X1)C1413，P(X2)C2422， P(X3)C3431， P(X4)C4440.所以X的分布列为X01234PE(
10、X)012343.19. （1）证明见解析；（2）.【详解】(1)如图，取PC的中点F，连接EF，BF，PEDE，PFCF，EFCD，CD2EF，ABCD，CD2AB，ABEF，且EFAB.四边形ABFE为平行四边形，AEBF.BF平面PBC，AE平面PBC.故AE平面PBC.(2)取AB中点O，CD中点M，以O为原点，OM为x轴，AB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系：则A（0，-1，0），B（0,1,0），C（1,2,0），P（0,0,1）D（1，-2,0），E，则，,设平面ABE的一个法向量为，平面CBE的一个法向量为，则，令，则，则，设与的夹角为，则，由二面角AEBC为钝角，则余弦
11、值为.20. （1）；（2）递减区间为，；递增区间为；（3）.【详解】解：（1）若，则，所以，即切线的斜率等于2；又，切点为；所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）的定义域为， （）， 当或时，在和上单调递减；当时，在单调递增； 所以的递减区间为，；递增区间为；（3）当，即时，在上单调递增，解得，因此；当，即时，在上单调递减，上单调递增，解得，因此； 当时，定义域是，但在要有定义，故排除；当，在上单调递减，与矛盾，因此无解；综上所述，a的取值范围为21. （1）y21.（2）见解析【解析】(1)等轴双曲线离心率为，椭圆C的离心率e.e2，a22b2.由xy0与圆x2y2b2相切，得b1，a22
12、.椭圆C的方程为y21.(2)证明 若直线AB的斜率不存在，设方程为xx0，则点A(x0，y0)，B(x0，y0)由已知4，得x0.此时AB方程为x.若直线AB的斜率存在，设AB方程为ykxm，依题意m1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(12k2)x24kmx2m220.则x1x2，x1x2.由已知k1k24，可得4，4，即2k(m1) 4，将x1x2，x1x2代入得k2，k2(m1)，m1.故直线AB的方程为ykx1，即yk1.直线AB过定点.综上，直线AB过定点.22. （1）；（2）2.【详解】（1）由，得，将代入，所以直线的直角坐标方程为，由，消去参数得，所以曲线的普通方程为.（2）显然点在直线：上，直线的参数方程为（为参数），代入曲线可得，即，设，对应的参数分别为，则，.23. （1）；（2）.【详解】解：(1)当时，所以当时，所以当时，所以综上，不等式的解集为(2)原式即由绝对值三角不等式，即，即
