文科数学-学科网2022年高三2月大联考（全国乙卷）（全解全析）.pdf

1、 文科数学 全解全析 第 1 页（共 7 页）学科网 2022 年高三 2 月大联考（全国乙卷）文科数学全解全析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C D C A A B A B D C 1B【解析】由 21x ，解得0 x，所以集合0,)A ；由(1)(2)0 xx，解得 12x，所以集合(1,2)B ，所以0,2)AB，所以()(,0)2,)U AB ，故选 B 2A【解析】由 2(12i)12iz，可得12i12iz，所以222212i|12i|1

2、12i|12i|zz z，故选 A 3C【解析】收入的最高值为90 万元，收入的最低值为 30 万元，其比是3:1，故 A 正确；结余最低的月份是 4 月，为302010（万元），故 B 正确；结余为30 万元的有 2 月、5 月、6 月、9 月、10 月、12 月，共 6 个月，故 C 错误；前 6 个月的平均结余为 170(203020103030)63（万元），故 D 正确故选 C 4D【解析】因为|0 x，所以|10 x ，所以函数1()|1f xx 的定义域为 R，所以 p 为真命题；因为22221113()024xxxxx，所以 q 为假命题，所以 pq，()pq为假命题，pq，(

3、)pq 为真命题，即为假命题，为真命题，故选 D 5C【解析】因为数列na为等比数列，所以45368aaaa ，由363682aaaa，可得3642aa 或3624aa，因为2639aaa，所以26931aaa 或 8，故选 C 6A【解析】如图，设晷针长为 h，最小圆的半径为 r，当光线射向最小圆上时，光线与晷面所成的角为0.由题意知3hr，即0tan3hr，03.当00,时，晷针的影子不能完全落在最小圆内；当0(,2时，晷 针 的 影 子 完 全 落 在 最 小 圆 内，所 以 晷 针 的 影 子 完 全 落 在 最 小 圆 内 的 概 率 文科数学 全解全析 第 2 页（共 7 页）01

4、23623222P.故选 A 7A【解析】因为()ee()xxf xxR，()ee()xxfxf x，所以()f x 为定义在 R 上的奇函数，显然()eexxf x在 R 上单调递增，且11(1)eeeef，所以1e(32)0efx可化为(1)(32)0ffx，即(1)(23)ffx，所以123x，解得13x，则不等式1e(32)0efx的解集为 1(,)3 ，故选 A 8B【解析】由题可得()cos(2)sin(2)2sin(2)633f xxxx，令3222,232kxkk Z，可得7,1212kxkk Z，当1k 时，1151212x；当0k 时，71212x；当1k 时，131912

5、12x，观察各选项，可知(,)4 2 是7,12 12 的真子集，所以函数()f x 在(,)4 2 上单调递减，故选 B 9A【解析】因为22(coscos)sin2coscos2ABCAB，所以222coscos2coscossin2coscos2ABABCAB，即222sinsinsin0ABC，所以由正弦定理可得2220abc，所以2C，因为6A，所以2ca，又8ac，所以228a，所以2a，4c，所以2 3b，所以12 32Sab，故选 A 10B【解析】因为()e(0)x mf xx与1e()(0)g xxx存在“分界线”，所以根据()f x 与()g x 的图象可知，当0 x 时

6、，()()f xg x恒成立，即1eex mx，即1 lnexmx，即1 lnemxx，令1()lneh xxx，则max()mh x 因为11e()1eexh xxx，所以当01ex时，()0h x，当1ex 时，()0h x，所以函数()h x 在(0,1)e 上单调递增，在 1(,)e 上单调递减，所以max12()()eeh xh，所以2em ，所以实数 m 的取值范围为2(,)e，故选 B 11D【解析】因为2(lg3)lg2 lg40ab，即2(lg3)lg2 lg4ab，且0a，0b，所以2222lg2 lg 4(lg 2lg 4)lg8()1(lg3)(2lg3)lg9ab，所

7、以 ab，故选项 A 不正确；易知函数()|ln(1)|f xx在(0,)上单调递增，因为()()f bf c，所以bc，所以 abc，故选项 B、C 不正确，选项 D 正确，故选 D 文科数学 全解全析 第 3 页（共 7 页）12C【解析】由题可知 ADCD，DECD，因为 ADDED，所以CD 平面 ADE，又 DP 平面 ADE，所以CDDP，易知 ADDE，因为1ADDE，所以22DP，所以22222611()22CPCDDPDP，故线段CP 长度的最小值为62，正确；因为 AEBF，所以点 P 到直线 BF 的距离为1，12122BPFSBF，又点 D 到平面 AEFB（即平面 B

8、PF）的距离为22，所以12213226D BPFV，设点 P 到平面 BDF 的距离为 d，则11133122332266D BPFP BDFBDFVVSddd，解得33d，所以点 P 到平面 BDF 的距离为定值，该定值为33，正确；如图，将ADE翻折到与平面 ABFE 共面，当 D，P，F 三点共线时，PDPF取得最小值为 1 12 1 1 cos13522 ，正确；易知点 B、点 D 在三棱锥 FCEA的外接球上，设三棱锥 FCEA的外接球的半径为 R,在以平面 ABCD 与平面 DEFC 为相邻两个侧面的正方体中，可得222(2)ADCDDER，即222111(2)R，解得32R，所

9、以三棱锥 FCEA的外接球的体积为34332R，不正确 综上，说法正确的为，共 3 个，故选 C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132 【解析】因为(2)()0abab，所以2220aa bb，又0a b，|1b，所以22a，所以|2a，故答案为2 145 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，由23zxy，可得233xzy ，易知当直线233xzy 经过点C 时，直线233xzy 在 y 轴上的截距最大，此时 z 取得最大值 文科数学 全解全析 第 4 页（共 7 页）由12xyx ，解得23xy，所以(2,3)C，所以max2(2)335z

10、，故答案为5 15 17 【解析】设椭圆C 的右焦点为2F，如图，由题可知点 M，O 分别为线段1PF，12F F 的中点，所以OM 为12PF F的中位线，所以2PFx轴，易知221|2|bPFa，根据椭圆的定义，可知127|4|2|PFPF，所以2111|7|PFOMMFPF，故答案为 17 16 2 22【解析】由题可得2222sin()tancos22cos1cosxf xxxxx 22222221cos112cos12cos22 2cos22 22coscoscosxxxxxxx，当且仅当2212coscosxx，即22cos2x 时等号成立，故答案为 2 22 三、解答题：共 70

11、 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）【解析】（1）由题可知，6080100120904x，50608090704y，（1 分）41()()6001001006001400iiixxyy，4222221()(30)(10)10302000iixx ，4222221()(20)(10)10201000iiyy ，（3 分）所以相关系数14000.992000 1000r，（4 分）所以 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，（5 分）则14

12、0070.7200010b，（6 分）700.7907aybx，（7 分）所以 y 关于 x 的线性回归方程为 0.77yx（8 分）（2）当90 x 时，0.790770y，（9 分）则 7030021000（万元），故预测该地区原学科类教育培训机构转型为素质教育培训机构共需要储备资金 21000 万元（12 分）18（12 分）【解析】（1）由212(1)2nnnannan，可得1(1)2(1)nnnanan n，文科数学 全解全析 第 5 页（共 7 页）上式两边同时除以(1)n n，可得121nnaann，（2 分）又111a ，所以数列nan是以1为首项，2 为公差的等差数列，（4

13、分）所以1(121)2nannn ，所以(21)nann（6 分）（2）由（1）可知(21)nann，当2n 时，11111()2(1)21nnn nnan，（8 分）所以12311111111111(1)()()2322231nnaaanaTnn 1131311(1)2222nnnn，（10 分）当1n 时，1111Ta，符合上式，（11 分）所以312nnTn，*nN（12 分）19（12 分）【解析】（1）如图，连接1BC，1B C，设11B CBCO，则点O 为点1O 在侧面11BB C C 内的射影（1 分）证明如下：连接1OO，因为四边形11BB C C 为正方形，所以O 为1BC

14、 的中点，又四边形11ACC A 为矩形，所以1O 为1AC 的中点，所以1OOAB，（3 分）因为 ABBC，1ABBB，1BCBBB，1BCBB、平面11BB C C，所以 AB 平面11BB C C，所以1O O 平面11BB C C，所以点O 为点1O 在侧面11BB C C 内的射影（5 分）（2）如图，连接1A B，取1A B 的中点 E，连接1O E，则1O EBC，（6 分）由题可知 BC 平面11ABB A，所以1O E 为四棱锥111OABB A的高，（7 分）同理可知1O O 为四棱锥111OBCC B的高，（8 分）因为14AA，2AB，所以11 111642233OA

15、BB AV，（9 分）因为114BBAA，四边形11BB C C 为正方形，所以11 111644 133OBCC BV，（11 分）所以四棱锥111OABB A的体积与四棱锥111OBCC B的体积的比值为11 111 11OABB AOBCC BVV（12 分）20（12 分）【解析】（1）因为点01(,)2P x在抛物线C 上，且点 P 到点 F 的距离为 32，文科数学 全解全析 第 6 页（共 7 页）所以由抛物线的定义可得13|222pPF，解得2p，（3 分）所以抛物线C 的标准方程为24xy（4 分）（2）若要证明QFAQFB ，可转化为证明 A，F，B 三点共线，即证QFaQ

16、AbQB，且1ab（5 分）由题可知(0,1)F，因为(2,1)Q，所以(2,2)QF （6 分）易知过点(2,1)Q作抛物线C 的切线，切线的斜率存在，设切线的斜率为 k，则过点Q 的切线方程为1(2)yk x，即(2)1yk x，将(2)1yk x 代入24xy，消去 y 可得244(21)0 xkxk，所以21616(21)0kk，解得12k （8 分）设11(,)A x y，22(,)B xy，由24xy，可得24xy，则2xy，不妨设点 B 位于第一象限，则1122x ，2122x ，所以122 2x，222 2x，所以132 2y，232 2y，所以(22 2,32 2)A，(22

17、 2,32 2)B，所以(2 2,42 2)QA ，(2 2,42 2)QB，（10 分）由QFaQAbQB，可得2 22 22(42 2)(42 2)2abab，解得224a，224b，此时1ab，（11 分）所以 A，F，B 三点共线，所以QFAQFB （12 分）21（12 分）【解析】（1）当2k 时，()2(1)lnf xxx，0 x，（1 分）所以121()2xfxxx，（2 分）当1(0,)2x时，()0fx，所以()f x 是减函数，（3 分）当1(,)2x 时，()0fx，所以()f x 是增函数，（4 分）所以()f x 的单调递增区间为 1(,)2 ，单调递减区间为1(0

18、,)2（5 分）（2）若()()f xg x恒成立，即1(1)ln3exk xxxxk在0 x 上恒成立,即1eln(1)30 xxxk xxk，1eln30 xxxxkx，（6 分）文科数学 全解全析 第 7 页（共 7 页）1eln(3)0 xxxkx，1lne(3)0 xxkx，即1ln3exxkx恒成立（7 分）令1ln()exxm xx,则211221ln1lne()exxxxxm xxx,（8 分）令21()1lnexh xxx，则1211()2 ee0 xxh xxxx,所以函数()h x 在(0,)上单调递减，（9 分）又因为(1)0h，所以当01x 时，()0h x，即()0

19、m x，所以函数()m x 在(0,1)上单调递增，当1x 时，()0h x，即()0m x，所以函数()m x 在(1,)上单调递减，（10 分）所以可得max()(1)1m xm ，（11 分）所以只需31k ，即2k.故实数 k 的取值范围是2,)（12 分）（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）【解析】（1）由sin()2 24，可得22cossin2 222，（2 分）将cosx ，siny 代入上式，可得222 222xy，即40 xy，（4 分）所以直线l 的直角坐标方程

20、为40 xy（5 分）（2）因为曲线C 的参数方程为2 cossin(cos2 sinxy 为参数)，所以222222(2 cossin)(cos2sin)3(cossin)3xy，（6 分）所以曲线C 的普通方程为223xy，曲线C 表示以(0,0)为圆心，半径3r 的圆，（7 分）又点(0,0)到直线:40l xy的距离22|004|2 21(1)d，（8 分）所以点 P 到直线l 的距离的最小值为2 23dr（10 分）23选修 4-5：不等式选讲（10 分）【解析】（1）不等式(2)(4)f xf x即|2|4|xx，（2 分）两边同时平方可得2244816xxxx，即1212x ，解得1x ，（4 分）所以不等式(2)(4)f xf x的解集为(1,)（5 分）（2）不等式2(2)(4)f xaaf x即2|2|4|aaxx，（6 分）因为对任意的 x R，不等式2(2)(4)f xaaf x恒成立，所以2min(|2|4|)aaxx，（8 分）又|2|4|(2)(4)|6xxxx，所以26aa，解得 23a，（9 分）所以实数 a 的取值范围为(2,3)（10 分）