1、2015-2016学年安徽省六安市霍邱中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A1iB1+iC1iD1+i2定积分（2x+ex）dx的值为（）Ae+2Be+1CeDe13数列2，5，11，20，x，47，中的x值为（）A28B32C33D274已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），则实数b的值为（）A1B3C3D15用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=
2、0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根6曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A，+）B（，+）C（，+）D，+）7在复平面内，若复数z满足|z+1|=|1+iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是（）A直线B圆C椭圆D抛物线8已知数列an满足a1=2，a2=3，an+2=|an+1an|，则a2016=（）A0B1C2D39已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）
3、A在t1时刻，甲车在乙车前面Bt1时刻后，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同Dt0时刻后，乙车在甲车前面10曲线y=sinx（0x）与直线围成的封闭图形的面积是（）ABCD11已知a，b，c均大于1，且logaclogbc=4，则下列各式中，一定正确的是（）AacbBabcCbcaDabc12对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A1是f（x）的零点B1是f（x）的极值点C3是f（x）的极值D点（2，8）在曲线y=f（x）上二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若i（x+yi）=3
4、+4i，x，yR，则复数x+yi的模是_14函数y=xex在其极值点处的切线方程为_15观察下列等式：1=1+=+1+=+据此规律，第n个等式可为_16设aiR+，xiR+，i=1，2，n，且a12+a22+an2=1，x12+x22+xn2=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是_都大于1都小于1至少有一个不大于1至多有一个不小于1至少有一个不小于1三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=xlnxx，求函数f（x）的单调区间和极值18已知如下等式：，当nN*时，试猜想12+22+32+n2的值，并用数学归纳法给予证明19近
5、年来，福建省大力推进海峡西岸经济区建设，福州作为省会城市，在发展过程中，交通状况一直倍受有关部门的关注，据有关统计数据显示上午6点到10点，车辆通过福州市区二环路某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=求上午6点到10点，通过该路段用时最多的时刻20已知abc，求证：21已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有22已知f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax3（）求函数f（x）在t，t+1（t0）上的最小值；（）对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数
6、a的取值范围；（）证明：对一切x（0，+），都有lnx成立2015-2016学年安徽省六安市霍邱中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A1iB1+iC1iD1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可【解答】解： =i，则=i（1i）=1+i，可得z=1i故选：A2定积分（2x+ex）dx的值为（）Ae+2Be+1CeDe1【考点】定积分【分析】根据微积分基本定理计算即可【解答】解：（2x+ex）d
7、x=（x2+ex）=（1+e）（0+e0）=e故选：C3数列2，5，11，20，x，47，中的x值为（）A28B32C33D27【考点】数列的概念及简单表示法【分析】根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解【解答】解：由题意知，数列2，5，11，20，x，47，52=3，115=6，2011=9，则x20=12，解得x=32，故选B4已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），则实数b的值为（）A1B3C3D1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数的几何意义可得：f（1）=3+a=2，又3=1+a+b，联
8、立解出即可得出【解答】解：y=f（x）=x3+ax+b，f（x）=3x2+a，由题意可得：f（1）=3+a=2，3=1+a+b，联立解得：a=1，b=3故选：C5用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假
9、设是方程x2+ax+b=0没有实根故选：A6曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A，+）B（，+）C（，+）D，+）【考点】导数的几何意义【分析】先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围【解答】解：由题意，f（x）=x3x+2，曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是，故选D7在复平面内，若复数z满足|z+1|=|1+iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是（）A直线B圆C椭圆D抛物线【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】设z=x+yi（x，yR），代入|z+1|=|1+iz|，
10、求模后整理得答案【解答】解：设z=x+yi（x，yR），代入|z+1|=|1+iz|，得|（x+1）+yi|=|（1y）+xi|，即x+y=0z在复平面内对应点的轨迹是直线故选：A8已知数列an满足a1=2，a2=3，an+2=|an+1an|，则a2016=（）A0B1C2D3【考点】数列递推式【分析】数列an满足a1=2，a2=3，an+2=|an+1an|，取值可得：a3=1，a4=2，a5=1，a6=1，a7=0，数列an从第5项起满足an+3=an即可得出【解答】解：数列an满足a1=2，a2=3，an+2=|an+1an|，a3=1，a4=2，a5=1，a6=1，a7=0，a8=1
11、，a9=1，a10=0，数列an从第5项起满足an+3=an则a2016=a4+3670+2=a6=1，故选：B9已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A在t1时刻，甲车在乙车前面Bt1时刻后，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同Dt0时刻后，乙车在甲车前面【考点】定积分在求面积中的应用；函数的图象【分析】利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t0时刻甲在乙的前面；又因为在t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程
12、，甲在乙的前面；同时在t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样最后得到A正确，B、C、D错误【解答】解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路程=v乙dt=c+d+b；从图象上可知ab，所以在t1时刻，a+c+dc+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错故答案为A10
13、曲线y=sinx（0x）与直线围成的封闭图形的面积是（）ABCD【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先确定积分区间，再确定被积函数，进而求定积分，即可求得曲线y=sinx（0x）与直线围成的封闭图形的面积【解答】解：令sinx=（0x），则曲线y=sinx（0x）与直线围成的封闭图形的面积是=（cosx）=cos+cos+=故选D11已知a，b，c均大于1，且logaclogbc=4，则下列各式中，一定正确的是（）AacbBabcCbcaDabc【考点】对数的运算性质【分析】由对数函数的性质和基本不等式化简已知的方程，再利用对数的运算进行化简，即可选出正确的答案【解答】解：a、b、c均大于1
14、，logaclogbc=4，logcalogcb=，logca、logcb大于零，则logcalogcb（logca+logcb）2，即（logca+logcb）2，（logca+logcb）21，（logcab）21，logcab1或logcab1，当且仅当logca=logcb，即a=b时取等号，a、b、c均大于1，logcab1，解得abc，故选：B12对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A1是f（x）的零点B1是f（x）的极值点C3是f（x）的极值D点（2，8）在曲线y=f（x）上【考点】二次函
15、数的性质【分析】可采取排除法分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论【解答】解：可采取排除法若A错，则B，C，D正确即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f（x）=2ax+b，即有f（1）=0，即2a+b=0，又f（1）=3，即a+b+c=3，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，由解得，a=5，b=10，c=8符合a为非零整数若B错，则A，C，D正确，则有ab+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有ab+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正
16、确，则有ab+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=不为非零整数，不成立故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若i（x+yi）=3+4i，x，yR，则复数x+yi的模是5【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=3再利用模的计算公式可得|x+yi|的值【解答】解：i（x+yi）=xiy=3+4i，x，yR，x=4，y=3，即x=4，y=3|x+yi|=|43i|=5故答案为：514函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析
17、】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程【解答】解：依题解：依题意得y=ex+xex，令y=0，可得x=1，y=因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=故答案为：y=15观察下列等式：1=1+=+1+=+据此规律，第n个等式可为+=+【考点】归纳推理；数列的概念及简单表示法【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为其等式右边为后n项的绝对值之和即可得出【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为其等式右边为后n项的绝对值之和第n个等式为： +=+16设aiR+，xiR+，i=1，2，n，且a12+a22+an2=1，x12+x22
18、+xn2=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是都大于1都小于1至少有一个不大于1至多有一个不小于1至少有一个不小于1【考点】分析法和综合法；反证法【分析】由题设中的条件对各个结论进行判断，其中可用同一方法判断，两结论分别与两结论对立，由的正误可判断的正误，中包含，且与矛盾，易判断【解答】解：由题意aiR+，xiR+，i=1，2，n，且a12+a22+an2=1，x12+x22+xn2=1，对于的值中，若成立，则分母都小于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+an2大于1，这与已知矛盾，故不对；若成立，则分母都大于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+an2小
19、于1，这与已知矛盾，故不对；由于与两结论互否，故对不可能成立，的值中有多于一个的比值大于1是可以的，故不对与两结论互否，故正确综上两结论正确故答案为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=xlnxx，求函数f（x）的单调区间和极值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】由已知得f（x）的定义域为（0，+），f（x）=lnx，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值【解答】解：f（x）=xlnxx，f（x）的定义域为（0，+），f（x）=lnx，由f（x）0，得x1；由f（x）0，得0x1f（x）的增区
20、间为（1，+），单调减区间为（0，1）x=1时，f（x）极小值=f（1）=118已知如下等式：，当nN*时，试猜想12+22+32+n2的值，并用数学归纳法给予证明【考点】归纳推理；数学归纳法【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律观察前几个式子的变化规律，从中猜想12+22+32+n2的值再用数学归纳法证明，证明时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，命题成立，第二步，先假设当n=k时，原式成立，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可【解答】解：由已知，猜想12+22+32+n2=，下面用数学归纳法给予证明：（1）当n=1时，由已知得原式成立；（2）假设当n=k时
21、，原式成立，即12+22+32+k2=，那么，当n=k+1时，12+22+32+（k+1）2=+（k+1）2=故n=k+1时，原式也成立由（1）、（2）知12+22+32+n2=成立19近年来，福建省大力推进海峡西岸经济区建设，福州作为省会城市，在发展过程中，交通状况一直倍受有关部门的关注，据有关统计数据显示上午6点到10点，车辆通过福州市区二环路某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=求上午6点到10点，通过该路段用时最多的时刻【考点】函数最值的应用【分析】利用导数工具分别求出函数值在各段上的最大值点，通过两者最大值得到结果【解答】解：当6t9时，
22、y=t2+3t，由y=0，得t=0，t=8当6t8时，y0，当8t9时，y0，所以在t=8，ymax=18当9t10时，y=，当9t10时，y0，ymax=9ln99，因为9ln9918=9（ln93）=9（ln9lne3）0，所以f（9）f（8），所以通过该路段用时最多的时刻为8时20已知abc，求证：【考点】不等式的证明【分析】由题设条件，ac0，由此可将证明的问题转化为证明+4，由左边往右边进行变形证明即可，解题过程中要注意理解要证左边大于右边，故可以在变形过程中适当缩小，完成证明【解答】证明： +=4，（abc）+421已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（
23、1，f（1）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）先求出函数f（x）的定义域，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值（2）欲求在点（1，f（1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决（3）所证不等式等价为，而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，从而得到证明【解答】解：（1）函数，由f（x）0x0；由
24、f（x）01x0；f（x）的单调增区间（0，+），单调减区间（1，0）（2），当x=1时，y=得切线的斜率为，所以k=；所以曲线在点（1，f（1）处的切线方程为：yln2+=（x1），即x4y+4ln23=0故切线方程为 x4y+4ln23=0（3）所证不等式等价为而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，由此F（t）min=F（1）=0，所以F（t）F（1）=0即，记代入得：得证22已知f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax3（）求函数f（x）在t，t+1（t0）上的最小值；（）对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范
25、围；（）证明：对一切x（0，+），都有lnx成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求函数f（x）在某区间的最小值，先求该函数的导函数，再判断单调性，因为t是参数，要进行分类讨论；（）求实数a的取值范围，2f（x）g（x）恒成立，就是求函数的最值问题，（）本题设m（x）=xlnx，也是求m（x）=xlnx的最值问题【解答】解：（）f（x）=lnx+1，当x（0，），f（x）0，f（x）单调递减，当x（，+），f（x）0，f（x）单调递增，即0t时，f（x）min=，f（x）min=f（t）=tlnt，即t时，f（x）在t，t+1上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，（）2xlnxx2+ax3，则，设h（x）=2lnx+x+，x0，则h（x）=，x（0，1），h（x）0，h（x）单调递减，x（1，+），h（x）0，h（x）单调递增，h（x）min=h（1）=4，对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，a4（）问题等价于证明xlnx，由（）可知f（x）=xlnx，（x（0，+）的最小值是，当且仅当x=时取到，设m（x）=xlnx，则，易知，当且仅当x=1时取到，从而对一切x（0，+），都有都有lnx成立2016年10月3日
