1、第四讲 用数学归纳法证明不等式 本讲小结专题一 数学归纳法证题的常用技巧在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而“命题P(k1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧1分析综合法用数学归纳法证明关于正整数n的不等式，从“P(k)”到“P(k1)”，常常可用分析综合法求证：1121231nn1 n，nN*.证明：(1)当 n1 时，因为112 121，所以原不等式成立(2
2、)假设 nk(k1，kN*)时，原不等式成立，即有1121231kk1 k，当 n k 1 时，112 123 1kk1 1k1k2 k1k1k2.因此，欲证明当 nk1 时，原不等式成立，只需证明 k1k1k21k1k2.从而转化为证明1k1 k1k23k2，也就是证明 k23k2 k1 k，即(k23k2)2(k1 k)2k2k12 kk1(kk11)20，从而 k23k2 k1 k.于是当 nk1 时，原不等式也成立由(1)(2)可知，对于任意的正整数 n，原不等式都成立2放缩法涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k1”，有时也考虑用放缩法求证：11213 12n1n2(nN*)证
3、明：(1)当 n1 时，左边1，右边12.左边右边，不等式成立(2)假设 nk(k1，kN*)时不等式成立，即 11213 12k1k2.当 nk1 时，nk1 时，不等式成立由(1)(2)可知，11213 12n1n2(nN*)3递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an1的关系，实现从“k”到“k1”的过渡设 0a1，定义 a11a，an11ana，求证：对一切nN*，有 1an1，又 a11a 11a，显然命题成立(2)假设 nk(k1，kN*)时，命题成立，即 1ak(1a)a1，同时，ak11aka1a1a21a 11a，当 nk1 时，命题也成立，即 1ak1
4、11a.综合(1)(2)可知，对一切正整数 n，有 1anx4x6.可推测x2n为递减数列，下面用数学归纳法证明：当 n1 时，x2x4 猜想成立；假设 nk 时命题成立，即 x2kx2k2，可知 xk0，x2k2x2k411x2k111x2k3x2k3x2k11x2k11x2k3x2kx2k21x2k1x2k11x2k21x2k30，即 x2(k1)x2(k2)，也就是说当 nk1 时猜想成立综合和知 x2nx2n2(nN*)(2)证明：当 n1 时，|xn1xn|x2x116，结论成立当 n2 时易知 0 xn11，则 1xn112，(1xn)(1xn1)111xn1(1xn1)2xn152，|xn1xn|11xn11xn1|xnxn1|1xn1xn125|xnxn1|252|xn1xn2|25n1|x2x1|1625n1.谢谢观看！
