1、一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由题意得,所以.故选D.考点：集合的运算.2.已知命题，则为（ ）A， B，C， D，【答案】A【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题. 命题，是特称命题，所以为，.故选A.考点：命题的否定.3.，且，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因为，所以；又，所以，.故选C.考点：三角函数的基本关系式.4.随机地从区间任取两个数，分别记为，则的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题
2、分析：在区间0，1上随机地任取两个数，则满足，对应的区域如图中正方形所示，面积为；对应的平面区域为半径为1的圆及其内部，如图中阴影部分所示，对应的面积为；作出对应的平面区域如图：则由几何概型的概率公式可得满足的概率.故选D.考点：几何概型的意义.5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线离心率等于（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意知双曲线的焦点在轴上，所以渐近线的方程为；又因为其一条渐近线方程为，即，所以，则双曲线离心率.故选A. 考点：双曲线的几何性质.6.已知实数、满足 则目标函数的最大值为（ ）A3 B5 C2 D6【答案】B【解析】试题分析： 作出不等式组表示的平面
3、区域，得到如图的ABC及其内部，其中， 设，将直线：进行平移，当经过点B时，目标函数z达到最大值，.故选B.考点：线性规划.7.展开式中的常数项为（ ）A80 B80 C40 D40【答案】D【解析】试题分析：展开式中的通项为，当，即时得到常数项为.故选D.考点：二项式定理.8.某程序框图如图所示，若，则该程序运行后，输出的值为（ ）A33 B29 C31 D27【答案】C【解析】试题分析：第一次循环：，则，；第二次循环：，；第三次循环：，；不满足条件，输出，结束.故选C.考点：程序框图.Com9.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为（ ）A B C D【
4、答案】D【解析】试题分析： 该几何体是正方体削去一个角，体积为故选D考点：由三视图求面积、体积.10.已知向量，若，（ ）A B7 C7 D【答案】B【解析】试题分析：由题意知，又，所以，解得.故选B.考点：向量的坐标运算；向量垂直的充要条件.11.已知动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意知直线为抛物线的准线，由抛物线定义知点到直线的距离与到点的距离相等，因此此圆恒过定点.故选A.考点：圆锥曲线综合应用. 12.已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）A8 B6 C4 D2【答案】B【解析】试题分析：由题意得，函数在上是奇函数且
5、是反比例函数，在上是奇函数，则，所以在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，所以作出函数与在上的图像，如图所示，结合图像可知，共有6个交点. 故选B.考点：根的存在性及根的个数的判断；函数的图像.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为 。【答案】.【解析】试题分析：由题意得，所以在点处的切线的斜率为，则切线方程为，即.故答案为：.考点：用导函数求曲线在某点的切线方程.14.有4名优秀学生、全部被保送到中大、华工、广工3所学校，每所学校至少去1名，则不同的保送方案共 种。【答案】36.【解析】试题分析：分两步进行，先把4名学生分为2-1-1的三组
6、，有种分法，再将3组对应3个学校，有种情况，则共有66=36种保送方案故答案为：36考点：分步计数原理的运用.15.函数的最小正周期为 。【答案】.【解析】试题分析：因为函数，所以其最小正周期为.故答案为：.考点：三角函数的基本关系式；函数的性质.16.已知点为坐标原点，点在双曲线上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为 。【答案】.【解析】 考点：圆锥曲线的综合应用.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10分）已知顶点在单位圆上的中，角、所对的边分别为、 且.求角的大小；若，求的面积。【答案】（）；（）.【解析】试题分析：
7、（）根据题意进行变形，再利用余弦定理即可求得；（）由正弦定理得，再由余弦定理求得，最后由三角形的面积公式即可求得结果.试题解析：解：（）由得， 又 4分 （）由得 5分 由余弦定理得 6分 8分 10分考点：正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式.18.（12分）某班50位学生期中考试数学的成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，（）求图中的值；（）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。【答案】（）0.018；（）.【解析】试题分析：（）根据离散型随机变量的概率和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，即可求得结果；（）
8、不低于80分的学生由12人，90分以上的学生有3人，则随机变量的可能取值由0,1,2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而即可求出数学期望.试题解析：解：（）由 解得 4分 （）成绩不低于80分的学生人数有人 5分 成绩在90分以上（含90分）的人数有人 6分 随机变量的可能取值为0、1、2 7分 012 所以的分布列为 10分 所以的数学期望 12分考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差.19.（12分）如图，已知四棱锥，底面是菱形，底面，、分别为、的中点。（）求证；（）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。【答案】（）证明
9、见解析；（）.【解析】试题分析：（）要证明AEPD，我们可能证明AE面PAD，由已知易得AEPA，我们只要能证明AEAD即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明AEBC，由已知即可得到结论；（）以为坐标原点， 以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，从而求得平面的法向量为，平面的法向量为，设二面角的平面角为，则.试题解析：（）证明：底面，底面， 1分四边形是菱形，且，为等边三角形，又是中点，则，由，得. 3分又,平面，又平面，. 5分 （）由（）可知，两两垂直，以为坐标原点， 以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，如图. ， ， 7分 设平面的法向量为，则即.令，可得 9分设平面的
10、法向量为，则即令，可得 11分设二面角的平面角为，则又由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为 12分考点：直线与直线垂直；空间向量法求二面角.20.（12分）设是数列的前项和，已知，（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和。【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）当时，由已知得，两式相减，变形得，检验当时满足式子，从而得到结论；（）由，求得 ， ，得：，从而得到. 10分 11分 12分考点：数列的通项公式；数列的前n项和.21.（12分）设椭圆过点，离心率，（）求的方程； （）求过且斜率的直线被椭圆所截线段的中点坐标。【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）由椭圆过已知点和椭圆的离心率
11、可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数的关系；然后利用中点坐标公式求解即可. 试题解析：解：（）将点代入的方程得 3分 又 得 即 5分的方程为 6分 （）过点且斜率为的直线方程为 7分 设直线与的交点为， 将直线方程代入的方程 得 即 9分 10分的中点坐标 11分即所截线段的中点坐标 12分考点：椭圆的标准方程及其几何性质；直线的方程；直线与椭圆的位置关系问题.22.（12分）已知函数（）讨论函数的单调性；（）若对于任意的，都存在，使得不等式成立，求的取值范围。【答案】 （）的单调增区间和，单调减区间；（）.【解析】试题分析：（）由题意，对函数求导得，解不等式，求得增区间；解不等式，求得减区间，即可得到结果；（）由（）可求得；对已知进行转化，转化为：对不等式，即 恒成立，记，通过求导判断函数的单调性，判断在内递增，从而得，又，再次转化为恒成立，即，从而得到取值范围. 试题解析：解：（） 2分 令，或 3分 令， 4分 的单调增区间和，单调减区间 5分 （）， 由（）知在上单调递增 6分 存在使成立对不等式都成立 7分即 恒成立，记 9分在内递增 10分即 11分即取值范围 12分.考点：利用导数研究函数的单调性、不等式.
