1、2015-2016学年安徽省芜湖市沈巷中学高一（上）期中数学试卷一、选择题: 每小题5分，共60分1 .集合A=xN|1x2，则（）A1ABACAD2A2设全集U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，B=2，3，4，则图中阴影部分表示的集合为（）A1，2，5，6B1C2D1，2，3，43下列四组函数，表示同一函数的是（）Af（x）=，g（x）=xBf（x）=x，g（x）=Cf（x）=lnx2，g（x）=2lnxDf（x）=logaax（0a1），g（x）=4若点（x，y）在映射f下的象是点（x+y，xy），则在映射f下点（2，1）的象是（）A（3，1）BCD（1，3）5当0a1时，在同一坐标系
2、中，函数y=ax与y=logax的图象是（）ABCD6已知，那么的值是（）ABCD7如果函数y=x2+（1a）x+2在区间（，4上是减函数，那么实数a的取值范围是（）Aa9Ba3Ca5Da78设函数f（x）=4x3+x8，用二分法求方程4x3+x8=0在x（1，3）内近似解的过程中，通过计算得：f（2）0，f（1.5）0，则方程的解落在区间（）A（1，1.5）B（1.5，2）C（2，2.5）D（2.5，3）9三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）AacbBabcCbacDbca10函数是R上的减函数，则a的取值范围是（）A（0，1）BCD11设定义在R上
3、的函数y=f（x）是奇函数，且f（x）在（，0）为增函数，f（1）=0，则不等式f（x）0的解为（）A（1，0）（1，+）B1，0）1，+）C1，0）D1，01，+）12若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数y=f（x）的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A0对B1对C2对D3对二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13函数y=的定义域是14函数y=ax3+3恒过定点15若幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）的解析式是1
4、6若x1，x2R，x1x2，则下列性质对函数f（x）=2x成立的是（把满足条件的序号全部写在横线上）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）f（x1）f（x2）（x1x2）0三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知集合A=x|2x4，B=x|3x782x求AB，（RA）B18化简或求值：（1）（2）计算19设函数f（x）=（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）证明：函数f（x）在R上是增函数20有一个自来水厂，蓄水池有水450吨 水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨
5、 现在开始向池中注水并同时向居民供水 问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量21设f（x）的定义域为（，0）（0，+），且f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=（1）求当x0时，f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）22已知函数f（x）=x22ax+5（a1）（1）若函数f（x）的定义域和值域均为1，a，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a+1，总有|f（x1）f（x2）|4，求实数a的取值范围；（3）若f（x）在x1，3上有零点，求实数a的取值范围2015-2016学年安徽省芜湖市沈巷中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:
6、 每小题5分，共60分1 .集合A=xN|1x2，则（）A1ABACAD2A【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合【分析】用列举法将集合表示出来即可【解答】解：A=xN|1x2=2，2A故选：D【点评】本题考查集合的描述法表示属于基础题2设全集U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，B=2，3，4，则图中阴影部分表示的集合为（）A1，2，5，6B1C2D1，2，3，4【考点】Venn图表达集合的关系及运算【专题】数形结合；综合法；集合【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A（UB）U=1，2，3
7、，4，5，6，A=1，2，B=2，3，4，UB=1，5，6，则A（UB）=1故选：B【点评】本题主要考查Venn图表达 集合的关系和运算，比较基础3下列四组函数，表示同一函数的是（）Af（x）=，g（x）=xBf（x）=x，g（x）=Cf（x）=lnx2，g（x）=2lnxDf（x）=logaax（0a1），g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数【分析】2个函数是同一个函数时，他们必须具有相同的定义域、值域、对应关系，三者缺一不可【解答】解：同一函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系，A中的2个函数的值域不同，B中的2个函数的定义域不同，C中的2个函数的对应关系不同，只有D的2个函数的
8、定义域、值域、对应关系完全相同，故选D【点评】本题考查函数的算要素：即定义域、值域、对应关系4若点（x，y）在映射f下的象是点（x+y，xy），则在映射f下点（2，1）的象是（）A（3，1）BCD（1，3）【考点】映射【专题】计算题【分析】由已知中点（x，y）在映射f下的象是点（x+y，xy），将点（2，1）代入映射法则，即可求出映射f下点（2，1）的象【解答】解：点（x，y）在映射f下的象是点（x+y，xy），则点（2，1）在映射f下的象是（3，1）故选A【点评】本题考查的知识点是映射，将原象点的坐标代入映射法则公式即可得到答案，本题解答过程中，可能错认为求点（2，1）的原象，而错解为B5当
9、0a1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象是（）ABCD【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质【专题】压轴题；数形结合【分析】先将函数y=ax化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：函数y=ax与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=logax，当0a1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减故选C【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力6已知，那么的值是（）ABCD【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】根据分段函数，直接代入进行求解即可【
10、解答】解：由分段函数可知，f（）=，=f（）=，故选A【点评】本题主要考查利用分段函数进行求值问题，直接代入即可，注意分段函数的取值范围，比较基础7如果函数y=x2+（1a）x+2在区间（，4上是减函数，那么实数a的取值范围是（）Aa9Ba3Ca5Da7【考点】二次函数的性质【专题】计算题【分析】求出函数y=x2+（1a）x+2的对称轴x=，令4，即可解出a的取值范围【解答】解：函数y=x2+（1a）x+2的对称轴x=又函数在区间（，4上是减函数，可得4，得a9故选A【点评】考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质8设函数f（x）
11、=4x3+x8，用二分法求方程4x3+x8=0在x（1，3）内近似解的过程中，通过计算得：f（2）0，f（1.5）0，则方程的解落在区间（）A（1，1.5）B（1.5，2）C（2，2.5）D（2.5，3）【考点】二分法求方程的近似解【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】计算可得f（1）0，结合f（1.5）0可得【解答】解：由题意可得f（1）=4+18=30，又由题意可得f（1.5）0，方程的解落在区间（1，1.5）上，故选：A【点评】本题考查二分法求方程的近似解，涉及函数零点的判定，属基础题9三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）Aacb
12、BabcCbacDbca【考点】不等式比较大小【专题】函数的性质及应用【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出【解答】解：00.3120.310=1，log20.31log21=0，20.3120=1，bac故选C【点评】熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键10函数是R上的减函数，则a的取值范围是（）A（0，1）BCD【考点】函数单调性的性质【专题】计算题【分析】先根据函数y=x+3a在（，0）是减函数，再根据函数y=ax在0，+）上是减函数，最后只要使y=x+3a的最小值大于或等于y=ax的最小值即可【解答】解：由题意可得f（x）=ax是减函数0a1又是R上的减函数当x=0时
13、3aa0即3a1a又0a1a的取值范围是【点评】分别判断出各段函数在其定义区间的单调性，再根据最值的大小保证函数在R上具有单调性11设定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且f（x）在（，0）为增函数，f（1）=0，则不等式f（x）0的解为（）A（1，0）（1，+）B1，0）1，+）C1，0）D1，01，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题【分析】根据题意，f（x）在（，0）为增函数，且f（1）=0，可得在区间（，0）上，当1x0时，有f（x）f（1）=0，当x1时，f（x）f（1）=0，进而有奇偶性可得：当x1时，有x1，此时f（x）=f（x）f（1）=0；综合可得答案【解答】解：
14、f（x）在（，0）为增函数，且f（1）=0，当1x0时，有f（x）f（1）=0，当x1时，f（x）f（1）=0，又由y=f（x）是奇函数，当x1时，有x1，则f（x）=f（x）f（1）=0；综合可得不等式f（x）0的解为1，0）1，+）；故选B【点评】本题综合考查函数的奇偶性与单调性，解题的易错点在于忽略f（x）0中的等号，而错选A12若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数y=f（x）的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A0对B1对C2对D3对
15、【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【专题】压轴题；新定义【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x0）交点个数即可【解答】解：根据题意：当x0时，x0，则f（x）=（x）24（x）=x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x24x，则函数y=x24x（x0）的图象关于原点对称的函数是y=x24x由题意知，作出函数y=x24x（x0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x0）交点个数即可得到友好点对的个数如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2即f（x）的“友好
16、点对”有：2个故答案选 C【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13函数y=的定义域是1x2【考点】函数的定义域及其求法【分析】真数要大于0，负数不能开偶次方根，分母不能为0【解答】解：要使函数有意义则：1x2故答案是：1x2【点评】本题主要考查函数定义域及求法14函数y=ax3+3恒过定点（3，4）【考点】指数函数的单调性与特殊点【专题】转化思想【分析】利用函数图象平移，找出指数函数的特殊点定点，平移后的图象的定点容易确定【解答】解：因为函数y=ax恒过（0
17、，1），而函数y=ax3+3可以看作是函数y=ax向右平移3个单位，图象向上平移3个单位得到的，所以y=ax3+3恒过定点 （3，4）故答案为：（3，4）【点评】本题是基础题，利用函数图象的平移，确定函数图象过定点，是解决这类问题的常用方法，牢记基本函数的特殊性是解好题目的关键15若幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）的解析式是f（x）=x2【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题【分析】由已知中幂函数f（x）的图象经过点（2，4），我们可以先设出函数的解析式，然后将（2，4）点代入后，构造关于a的方程，解方程即可得到f（x）的解析式【解答】解：设幂函数f（x）=xa，幂函
18、数f（x）的图象经过点（2，4），4=2a，解得a=2故f（x）=x2，故答案为：f（x）=x2【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解方法待定系数法，当已知函数类型时，如本题函数f（x）为幂函数，我们可以先设出函数的解析式，含待定系数，进而根据其它已知条件，构造系数的方程，解方程求出系数值后，进而得到f（x）的解析式16若x1，x2R，x1x2，则下列性质对函数f（x）=2x成立的是（把满足条件的序号全部写在横线上）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）f（x1）f（x2）（x1x2）0【考点】指数函数的图象与性质；有理数指数幂的运算性质【专题】阅读型
19、；数形结合【分析】由幂的运算法则计算两端，验证是否相等将两端化简，验证是否相等利用函数的单调性去判定将已知变形为再去判断【解答】解：f（x1+x2）=f（x1）f（x2）对f（x1x2）=，f（x1）+f（x2）=，f（x1x2）f（x1）+f（x2）错f（x）在定义域R上是增函数，对于任意的两不等实数x1，x2，若x1x2 则f（x1）f（x2），若x1x2 则f（x1）f（x2），总之必有f（x1）f（x2）（x1x2）0对如图A，B为函数图象上任意不同两点，M为线段AB的中点，过M且与x轴垂直的直线与图象交与点P各点坐标如图所示由图可知，两边同时乘以2，即知对故答案为：【点评】本题考查指
20、数函数的图象、单调性、指数幂的运算等知识，数形结合的思想方法，分析解决问题的能力三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知集合A=x|2x4，B=x|3x782x求AB，（RA）B【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】求出B中不等式的解集确定出B，求出A与B的交集，找出A的补集，求出A补集与B的并集即可【解答】解：由B中的不等式解得：x3，即B=x|x3，A=x|2x4，AB=x|3x4，RA=x|x2或x4，则（RA）B=x|x2或x3【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键18化简或求值：（1）（2）
21、计算【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【专题】计算题【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则即可得出【解答】解：（1）原式=（2）分子=lg5（3+3lg2）+3（lg2）2=3lg5+3lg2（lg5+lg2）=3；分母=（lg6+2）lg6+1=3；原式=1【点评】本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则，属于基础题19设函数f（x）=（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）证明：函数f（x）在R上是增函数【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）利用奇函数的定义，即可证明；（2）利用导数大于0，即
22、可证明【解答】证明：（1）函数的定义域为R，f（x）=f（x）=f（x），函数f（x）是奇函数；（2）f（x）=f（x）=0函数f（x）在R上是增函数【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20有一个自来水厂，蓄水池有水450吨 水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨 现在开始向池中注水并同时向居民供水 问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题【分析】先根据题意设t小时后蓄水池内水量为y吨，得出蓄水池中水量y关于t的函数关系式，再利用换元法求出此函数的最小值即可本题解
23、题过程中可设，从而转化成二次函数的最值问题求解【解答】解：设t小时后蓄水池内水量为y吨，根据题意，得=当，即t=5时，y取得最小值是50答：5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨【点评】本小题主要考查建立函数关系、二次函数的性质等基础知识，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型21设f（x）的定义域为（，0）（0，+），且f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=（1）求当x0时，f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及
24、应用【分析】（1）可设x0，则有x0，从而可得出f（x），从而求出f（x）=；（2）分x0和x0时，带入f（x）的解析式便可得到，或，这样便可解出这两个不等式组，从而得出原不等式的解集【解答】解：（1）设x0，x0，则；f（x）=；（2）x0时，由得，；3x9；0x2；x0时，；3x9；x2；综上得，原不等式的解集为（，2）（0，2）【点评】考查奇函数的定义，对于奇函数，已知x0时的解析式，求对称区间上的解析式的方法，以及指数函数的单调性，不等式的性质22已知函数f（x）=x22ax+5（a1）（1）若函数f（x）的定义域和值域均为1，a，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（，2上是减函数，
25、且对任意的x1，x21，a+1，总有|f（x1）f（x2）|4，求实数a的取值范围；（3）若f（x）在x1，3上有零点，求实数a的取值范围【考点】函数的零点与方程根的关系；二次函数的性质【分析】（1）根据一元二次函数f（x）=x22ax+5（a1）的对称轴x=a与区间1，a再结合一元二次函数的单调性即可求出值域（2）由于要使对任意的x1，x21，a+1，总有|f（x1）f（x2）|4则必有f（x）maxf（x）min4即因此需求出函数在1，a+1上的最大最小值（3）根据函数零点与方程的关系可得f（x）在x1，3上有零点即f（x）=0在x1，3上有实数解也即2a=在x1，3上有实数解则问题转化为
26、求函数g（x）=x的值域【解答】解：（1）函数f（x）=x22ax+5（a1）的对称轴为x=a1，a函数f（x）=x22ax+5（a1）在1，a上单调递减函数f（x）的定义域和值域均为1，aa=f（1）a=2（2）f（x）在区间（，2上是减函数a2函数f（x）=x22ax+5（a1）在1，a上单调递减，a，a+1上单调递增f（1）f（a+1）f（x）max=f（1），f（x）min=f（a）对任意的x1，x21，a+1，总有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min要使对任意的x1，x21，a+1，总有|f（x1）f（x2）|4则必有f（x）maxf（x）min4即可f（1）f（a）4a22a+141a3a22a3（3）f（x）在x1，3上有零点f（x）=0在x1，3上有实数解2a=在x1，3上有实数解令g（x）=x则g（x）在1，单调递减，在（，3单调递增且g（1）=6，g（3）=2g（x）622a6a3【点评】本题主要考察函数零点与方程根的关系以及利用函数的单调性求函数的值域解题的关键是虽然（1）（2）都可转化为求函数的最值但第二问首先需分析出对任意的x1，x21，a+1，总有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min而对于第三问关于求参数的取值范围的类型长采用反解的方式即用未知数表示参数然后转化为求函数在指定范围内的值域问题！
