1、课后素养落实(七)二面角(建议用时：40分钟)一、选择题1在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABBCAA1，E为CC1的中点，则二面角EBDC的平面角的大小为()ABCDB如图，连接AC，BD，相交于点O，ABBC，OCBD，而BCEDCE，BEDE，则OEBD，EOC为二面角EBDC的平面角，设ABBC2，则OCAC，AA12，则CECC1AA1EOC即二面角EBDC的平面角的大小为2过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且APAB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为()ABCD以上都不正确A设APAB1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立
2、空间直角坐标系，则P(0，0，1)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，(1，1，1)，(0，1，1)设平面PCD的法向量m(x，y，z)，则取y1，得m(0，1，1)，平面ABP的法向量n(0，1，0)，设平面ABP与平面CDP所成的角为，则cos ，3在边长为a的正三角形ABC中，ADBC于点D，将ABD沿AD翻折后，BCa，此时二面角BADC的大小为()A30 B45C60D90C分析知BDC就是二面角BADC的平面角在BCD中，BCBDCDa，BCD为正三角形，BDC604已知二面角l的大小为60，b和c是两条异面直线，且b，c，则b与c所成的角的大小为()A120B90C60D30C
3、设直线b，c的方向向量分别为b，c，b，c，所以b，c分别是平面，的法向量，二面角l的大小为60，b，c的夹角为60或120，因为异面直线所成角为锐角或直角，所以b与c所成的角为605如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角BACD，M，N分别为AC，BD的中点，若，则线段MN长度的取值范围为()ABCD1，A连接BM，DM，得ACBM，ACDM，DMB是二面角BACD的平面角，且BMDM，在等腰DMB中，MNBD，且DMNDMB，则MNDMcos线段MN长度的取值范围为二、填空题6如图所示，已知正三棱柱ABCABC的底面边长为2，高为4，D是棱AA的中点，E在棱BB上
4、，且EBBB，则截面CDE与底面ABC所成二面角的大小为_45AABB4，D是棱AA的中点，BEBB，AD2，BE1，ED在EDC中，EC，ED，CD2，易得SDCE，而SABC，设截面CDE与底面ABC所成的角为，则cos ，457若P是ABC所在平面外一点，且PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA，则二面角PBCA的大小为_90取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则POA就是二面角PBCA的平面角又POAO，PA，所以POA908如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1CMB的正切值是_以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B(2
5、，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0)，(2，1，0)，(2，0，2)，设平面CMB1的法向量m(x，y，z)，则取x1，得m(1，2，1)，平面CBM的法向量n(0，0，1)，设二面角B1CMB的平面角为，则cos ，tan 二面角B1CMB的正切值为三、解答题9如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VAVBVCAB，求二面角AVBC的余弦值解取VB的中点为E，连接AE，CEVAVBVCAB，ABCD为正方形，AEVB，CEVBAEC是二面角AVBC的平面角设ABa，连接AC，在AEC中，AEECa，ACa，由余弦定理可知：cosAEC，所求二面角
6、AVBC的余弦值为10如图所示，在梯形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EFAB将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC(1)若BE3，在线段AD上取一点P，使APPD，求证：CP平面ABEF；(2)若平面ABEF平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长满足FC2FAFD，求平面EAC和平面ACF夹角的大小解(1)证明：在梯形ABCD中，ADBC，EFAB，BE3，AF3又AD6，BC4，EC1，FD3，在线段AF上取点Q，使AQQF，连接PQ，QE，APPD，PQDF，CEDF，CEPQ，四边形ECPQ为平行四边形，CPE
7、Q，CP平面ABEF，EQ平面ABEF，CP平面ABEF(2)在梯形ABCD中，ABAD，ABEF，EFAF，EFFD，平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，AF平面ABEF，AF平面EFDC设FAx(0x4)，EFAB2，FD6x，EC4x，FC，FC2FAFD，即4(4x)2x(6x)，化简得x27x100，x2或x5(舍去)以点F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则F(0，0，0)，E(2，0，0)，C(2，2，0)，A(0，0，2)，(0，2，0)，(2，0，2)，设n1(x1，y1，z1)是平面EAC的法向量，则即
8、取z11，则x11，y10，平面EAC的一个法向量为n1(1，0，1)又(2，2，0)，(0，0，2)，设n2(x2，y2，z2)是平面ACF的法向量，则即取x21，则y21，z20，平面ACF的一个法向量为n2(1，1，0)cosn1，n2平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，平面EAC和平面ACF的夹角为601(多选题)如图，在梯形ABCD中，ABCD，BC1，AB2，ACB90，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，则cos 的取值可能为()ABCDBC平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面AB
9、CDAC，CF平面ACFE，CFAC，CF平面ABCD以点C为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，令FM(0)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，故(，1，0)，(，1，1)设n1(x，y，z)为平面MAB的法向量，由得取x1，则n1(1，)n2(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，cos 0，当0时，cos 取得最小值；当时，cos 取得最大值，cos 故选BC2已知边长为2的正方形纸片ABCD，现将其沿着对角线AC翻折，使得二面角BACD的大小等于45，则四面体ABCD的体积为()A1BCDB如图，连接AC，B
10、D，设AC与BD相交于点E，则BEAC，DEAC，BED为二面角BACD的平面角，大小等于45，且AC平面BED，在平面BED中，过B作BO平面ACD，则O在DE上，原正方形的边长为2，SACD222，BE，则BO1四面体ABCD的体积为213在四棱锥PABCD中，PDAC，AB平面PAD，底面ABCD为正方形，且CDPD3若四棱锥PABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为_；当四棱锥PABCD的体积取得最大值时，二面角APCD的正切值为_6设CDx(0x3)，则PD3x，因为AB平面PAD，所以ABPD，又PDAC，所以PD平面ABCD，则四棱锥PABCD可补形为一个长方
11、体，球O的球心为PB的中点，从而球O的表面积为：43(x1)226四棱锥的体积为V(3x)x2(0x3)，则Vx22x，当0x2时，V0，当2x3时，V0，所以VmaxV(2)，此时ADCD2，PD1，过D作DHPC于H，连接AH，则AHD为二面角APCD的平面角DH，tanAHD4如图所示，甲站在水库地面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A，B到直线l(水库地面与水坝斜面的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，则水库地面与水坝斜面所成二面角的余弦值为_法一：化为向量问题：根据向量的加法法则，进行向量运算：d22()22222()a2c2b22a2c2b22，所
12、以设向量与的夹角为，则就是水库地面与水坝斜面所成二面角的大小，因此cos 故水库地面与水坝斜面所成二面角的余弦值为法二：如图，过D作DEAC，且DEAC，连接AE，BE，由二面角的平面角的定义知BDE即所求二面角的平面角在BDE中，BE2d2c2，由余弦定理得cosBDE如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA12AB4(1)求证：DE平面A1MC；(2)在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1BCP的余弦值为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由解(1)证明：如图，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，由题意可知O为AC1的中点，连接
13、OM，OE，MD，则，四边形MDEO为平行四边形，即DEMO又DE平面A1MC，MO平面A1MC，DE平面A1MC(2)法一：假设存在点P，如图，连接A1D，PB，PC，PD，由题意易得A1BC，PBC为等腰三角形，A1D，PD为底边BC上的高，则A1DP为二面角A1BCP的平面角设PAa(0a4)，则PA14a，PB2PA2AB2a24，又PB2PD2BD2PD21，PD2a23又A1C2A1CCCA1D2CD2，A1D219，则cosA1DP，解得a1故存在点P，使得二面角A1BCP的余弦值为，此时PA1法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设PAa(0a4)，则D(0，0，0)，A(，0，0)，P(，0，a)，A1(，0，4)，B(0，1，0)，则(，0，a)，(，1，a)，设平面PBC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则解得取x1a，则n1(a，0，)同理，(，0，4)，(，1，4)，设平面BCA1的法向量为n2(x2，y2，z2)，则解得取x24，则n2(4，0，)由图易得所求二面角为锐角，设为，则cos ，解得a1故存在点P，使得二面角A1BCP的余弦值为，此时PA1