1、第二讲 参数方程 三 直线的参数方程1掌握直线的参数方程(重点、易错点)2能够利用直线的参数方程解决有关问题(难点)1直线的参数方程过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)1下列可以作为直线2xy10的参数方程的是()Ax1t，y3t(t为参数)B.x1t，y52t(t为参数)Cx1t，y32t(t为参数)D.x22 55 t，y5 55 t(t为参数)解析：所给直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为12，所以可排除A，D；B，C两项中直线斜率都为2，但B项中直线的普通方程为2xy30.故选C.答案：C2参数的几何意义直线
2、的参数方程中参数t的几何意义是：参数t的绝对值表示参数t对应的点到定点M0(x0，y0)的距离当 M0M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取_；当 M0M与e反向时，t取_；当点M与点M0重合时，t为_正数负数零2直线x23t，y1t(t为参数)上对应t0，t1两点间的距离是()A1 B 10 C10 D2 2解析：t0时，对应点为(2，1)；t1时，对应点为(5,0)，两点间的距离为 10.答案：B1经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程的推导：设e是直线l的单位向量(单位长度与坐标轴的单位长度相同)，则e(cos，sin)(0，)在直线l上任取一点M(x，y)，则M0M(x
3、，y)(x0，y0)(xx0，yy0)因为 M0M e，所以存在实数tR，使 M0Mte，即(xx0，yy0)t(cos，sin)，于是xx0tcos，yy0tsin，即xx0tcos，yy0tsin.所以可得参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段M0M 的数量|M0M|，可为正、为负，也可为零2在直线参数方程中，如果直线上的点M1、M2所对应的参数值分别为t1和t2，那么线段M1M2的中点所对应的参数值为t中12(t1t2)直线参数方程的标准形式已知直线l：x 3 32 t，y212t(t为参数)(1)分别
4、求t0,2，2时对应的点M(x，y)；(2)求直线l的倾斜角；(3)求直线l上的点M(33，0)对应的参数t，并说明t的几何意义思路点拨解答本题关键是理解直线的参数方程的意义解：(1)由直线l：x 3 32 t，y212t(t为参数)知当t0,2，2时，分别对应直线l上的点(3，2)，(0,3)，(2 3，1)(2)方法一：化直线l：x 3 32 t，y212t(t为参数)为普通方程y2 33(x 3)，其中ktan 33，0.直线l的倾斜角6.方法二：由于直线l：x 3tcos6，y2tsin6(t为参数)，这是过点M0(3，2)，且倾斜角 6 的直线，故 6 为所求(3)由上述可知直线l的
5、单位方向向量ecos6，sin6 32，12.M0(3，2)，M(3 3，0)，M0M(2 3，2)432，12 4e.点M对应的参数t4，几何意义为|M0M|4，且M0M 与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)【题后反思】1.一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角(00总成立，t1t2 2，t1t24，|AB|t1t2|22443 2.方法二：直线l的直角坐标方程为y2x，把y2x代入y2x整理得x25x40，0总成立，x1x25，x1x24，|AB|1k2|x1x2|2 52443 2.思维创新系列(二)直线参数方程的综合应用一题多变【典例】在直角坐标系xOy中，直线l的参数
6、方程为x2 22 t，y1 22 t(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C的方程为2123cos2 4sin2.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|PB|.解：(1)由2123cos2 4sin2，得3x24y212，即x24 y231.(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得32 22 t 241 22 t 212，72t210 2t40.由于(10 2)247241440，故可设t1，t2是上述方程的两实根所以t1t220 27，t1t287.又
7、直线l过点P，故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t1|t2|(t1t2)20 27.【多维探究】(1)本例(2)问中，其他条件不变，求点P到A、B两点的距离之积解：|PA|PB|t1t2|87 87.(2)已知直线l经过点P(2,1)，倾斜角为，与曲线C：2123cos2 4sin2 交于M、N两点，求|PM|PN|的最小值及相应的值解：设直线l的方程为x2tcos，y1tsin(t为参数)化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程得3x24y212.3(2tcos)24(1tsin)212.整理，得(3sin2)t2(8sin 12cos)t40，|PM|PN|t1t2|43sin2.当sin2
8、 1，即2时，|PM|PN|取得最小值1.点击进入WORD链接P36探究直线xx0tcos，yy0tsin(t为参数)与曲线yf(x)交于M1，M2两点，对应的参数分别为t1，t2.(1)曲线的弦M1M2的长是多少？(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？(3)你还能提出和解决哪些问题？答：(1)弦M1M2的长|M1M2|t1t2|.(2)线段M1M2的中点M对应的参数tt1t22.(3)一些线段长度、距离问题都可以利用参数t的几何意义解决P38思考在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250 km，并以10 km/h的速度不断
9、增大)，那么问题又该如何解决？答：城市O受台风侵袭的时间长度是|t1t2|15 25 7415 25 7452 76.6(h)如果台风侵袭的半径以10 km/h不断增大，只要将圆O的方程改为x2y2(25010t)2.当台风侵袭时(300202 t)2(202 t)2(25010t)2，解出t即可P39探究如果把例4中的椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？答：把椭圆改为双曲线，结论仍然成立课后习题解答习题2.3(第39页)1解：(1)直线l的参数方程为x112t，y5 32 t(t为参数)(2)将直线l的参数方程中的x，y代入xy23 0，得t(106 3)所以，直线l和直线xy23 0的交点
10、到点M0的距离为|t|106 3.(3)将直线l的参数方程中的x，y代入x2y216，得t2(15 3)t100.设上述方程的两根为t1，t2，则t1t2(153)，t1t210.可知t1，t2均为负值，所以|t1|t2|(t1t2)15 3.所以两个交点到点M0的距离的和为15 3，积为10.2解：设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为，由已知可得cos 35，sin 45.所以，直线的参数方程为x235t，y45t(t为参数)代入y22x，整理得8t215t500.中点M的相应参数是tt1t221516.所以点M的坐标是4116，34.3解：设过点M(2,1)的直线AB的参数方程为x2tc
11、os，y1tsin(t为参数)代入双曲线方程，整理得(cos2 sin2)t22(2cos sin)t20.设t1，t2为上述方程的两个根，则t1t24cos 2sin cos2 sin2 .因为点M为线段AB的中点，由t的几何意义可知t1t20，所以4cos 2sin 0.于是得到ktan 2.因此，所求直线的方程为y12(x2)，即2xy30.4解：直线l的参数方程为x2 22 t，y4 22 t(t为参数)，代入y22px，得到t22 2(4p)t8(4p)0.由根与系数的关系，得到t1t22 2(4p)，t1t28(4p)因为|M1M2|2|AM1|AM2|，所以(t1t2)2|t1|t2|t1t2，即(t1t2)25t1t2.所以2 2(4p)258(4p)即4p5或4p0，所以p1或p4.又因为p0，所以p1.谢谢观看！
