1、专题15一次函数中的三角形综合式问题1、如图，直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B处（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）当x0时，y8，B（0，8），当y0时，x+80，x6，A（6，0）；（2）在RtAOB中，AOB90，OA6，OB8，AB10，由折叠得：ABAB10，OB1064，设OMa，则BMBM8a，由勾股定理得：a2+42（8a）2，a3，M（0，3），设A
2、M：ykx+b，则，解得：，直线AM的解析式为：yx+3；（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰二角形，如图M（0，3），B（4，0），BM5，当PBBM时，P1（9，0），P2（1，0）；当BMPM时，P3（4，0），当PBPM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交BM与Q，易证得P4BQMBO，则，即，P4B，OP44，P4（，0），综上，P点的坐标为（9，0）或（1，0）或（4，0）或（，0）2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（2，0）（1）求k的值；（2）已知点Q在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若
3、AOB的面积是AOQ面积的2倍，求点Q的坐标解：（1）点A（2，0）在一次函数ykx+3上，02k+3，得k1.5，即k的值是1.5；（2）k1.5，一次函数解析式为y1.5x+3，当x0时，y3，即点B的坐标为（2，0），OB3，点A（2，0），OA2，AOB的面积是3，又AOB的面积是AOQ面积的2倍，AOQ的面积是1.5，设点Q的坐标为（a，a），1.5，得a1.5，点Q的坐标为（1.5，1.5）3、如图，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）（1）求m的值及l2的解析式；（2）若点D在x轴上，使得SDOC2SBOC的值，请求出D点的
4、坐标；（3）一次函数ykx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，则k的值为 解：（1）把C（m，4）代入一次函数yx+5，可得4m+5，解得m2，C（2，4），设l2的解析式为yax，则42a，解得a2，l2的解析式为y2x；（2）过C作CDAO于D，CEBO于E，则CD4，CE2，在yx+5中，令x0，则y5；令y0，则x10，A（10，0），B（0，5），AO10，BO5，SDOC2SBOC，OD42，OD5，D点的坐标为（5，0）或（5，0）；（3）一次函数ykx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，当l3经过点C（2，4）时，k；当l2，l3平行时，k2；当
5、11，l3平行时，k；故k的值为或2或，故答案为或2或4、如图，过点A（1，3）的一次函数ykx+6（k0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E（i）若直线l把BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（）连接AD，若ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标解：（1）将点A的坐标代入一次函数ykx+6并解得：k3；（2）一次函数y3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；（i）SBCOOBCO266，直线l把BOC分成面积比为1：2的两部分，
6、则SCDE2或4，而SCDECDxE4xE2或4，则xE1或2，故点E（1，3）或（2，0），将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：yx+2；（）设点E（m，3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），则AE2（m1）2+（33m）2，AD22，ED2m2+（43m）2，当AEAD时，（m1）2+（33m）22，解得：m或；当AEED时，同理可得：m；综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：yx+2与x轴交于点A，直线l2：y3x6与x轴交于点D，与l1相交于点C（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若SACE
7、SACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与APD全等，求点F的坐标解：（1）直线l2：y3x6与x轴交于点D，令y0，则3x60，x2，D（2，0）；（2）如图1，直线l1：yx+2与x轴交于点A，令y0x+20，x2，A（2，0），由（1）知，D（2，0），AD4，联立直线l1，l2的解析式得，解得，C（4，6），SACDAD|yC|4612，SACESACD，SACE12，直线l1与y轴的交点记作点B，B（0，2），设点E（0，m），BE|m2|，SACEBE|xCxA|m2|4+2|4|m2|12，m2或m6，点E（0，2）或（
8、0，6）；（3）如图2，当点F在直线l1上方时，以A、P、F为顶点的三角形与APD全等，、当APFAPD时，连接DF，BD，由（2）知，B（0，2），由（1）知，A（2，0），D（2，0），OBOAOD，ABODBO45，ABD90，DBl1，APFAPD，PFPD，AFAD，直线l1是线段DF的垂直平分线，点D，F关于直线l1对称，DFl1，DF过点B，且点B是DF的中点，F（2，4），、当PAFAPD时，PFAD，APFPAD，PFAD，点D（2，0），A（2，6），点D向左平移4个单位，点P向左平移4个单位得，F（14，6），F（3，3），当点F在直线l1下方时，PAFAPD，由知，PA
9、FAPD，PAFPAF，AFAF，PFPF，点F与点F关于直线l1对称，FFl1，DFl1，FFDF，而点F（2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F（21，01），F（1，1），即：点F的坐标为（3，3）或（2，4）或（1，1）6、如图1，直线l：yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B已知点C（2，0）（1）求出点A，点B的坐标（2）P是直线AB上一动点，且BOP和COP的面积相等，求点P坐标（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得A1B1Q是等腰直角三角
10、形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标解：（1）设y0，则x+20，解得：x4，设x0，则y2，点A的坐标为（4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）点C（2，0），点B（0，2），OC2，OB2，P是直线AB上一动点，设P（m，m+2），BOP和COP的面积相等，2|m|2（|m|+2），解得：m4，当m4时，点P与点A重合，点P坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，当点B1是直角顶点时，B1QB1A1，A1B1O+QB1H90，A1B1O+OA1B190，OA1B1QB1H，在A1OB1和B1HQ中，A1OB1B1HQ（AAS），B1HA1O，OB1HQ2，B1（0，2
11、）或（0，2），当点B1（0，2）时，Q（2，2），当点B1（0，2）时，B（0，2），点B1（0，2）（不合题意舍去），直线AB向下平移4个单位，点Q也向上平移4个单位，Q（2，2），当点A1是直角顶点时，A1B1A1Q，直线AB的解析式为yx+2，由平移知，直线A1B1的解析式为yx+b，A1（2b，0），B1（0，b），A1B124b2+b25b2，A1B1A1Q，直线A1Q的解析式为y2x4bQ（2，44b），A1Q2（2b+2）2+（44b）220b2+40b+20，20b240b+205b2，b2或b，Q（2，4）或（2，）；当Q是直角顶点时，过Q作QHy轴于H，A1QB1Q，QA
12、1C1+A1QC90，A1QC+CQB190，QA1CCQB1，my轴，CQB1QB1H，QA1CQB1H在A1QC与B1QH中，A1QCB1QH（AAS），CQQH2，B1HA1C，Q（2，2）或（2，2），即：满足条件的点Q为（2，2）或（2，2）或（2，12）或（2，）7、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（4，3）（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当SAOP：SAOB2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120，点B落在点C处，连结CP，求APC的面积，并直接写出点C的坐标解：（1）设直线AB的函
13、数表达式为ykx+b，点A（2，0），点B（4，3），解得：，直线AB的函数表达式为yx+1；（2）过B作BEx轴于E，过P作PDx轴于D，PDBE，SAOP：SAOB2：3，点B（4，3），BE3，PDBE，APDABE，PD2，当y2时，x2，P（2，2）；（3）点A（2，0）、点B（4，3），点P（2，2），则AP2，ABCA3，过点P作HPAC交AC的延长线于点H，则AHAP，PHAPsin60，APC的面积ACPH3；设点C（x，y），则PC2PH2+HC215+（+3）295（x+2）2+（y2）2，CA245（x2）2+y2，联立并解得：x，y，故点C（，）8、如图1，等腰直角三
14、角形ABC中，ACB90，CBCA，直线DE经过点C，过A作ADDE于点D，过B作BEDE于点E，则BECCDA，我们称这种全等模型为“K型全等”（不需要证明）【模型应用】若一次函数ykx+4（k0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点（1）如图2，当k1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；（2）如图3，当k时，点M在第一象限内，若ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值解：（1）由题意可知：BEOAOD（K型全等），OEAD，k1，yx+4，
15、B（0，4），OB4，BE3，OE，AD；（2）k时，yx+4，A（3，0），当BMAB，且BMAB时，过点M作MNy轴，BMNABO（AAS），MNOB，BNOA，MN4，BN3，M（4，7）；当ABAM，且AMAB时，过点M作x轴垂线MK，ABOAMK（AAS），OBAK，OAMK，AK4，MK3，M（7，3）；当AMBM，且AMBM时，过点M作MHx轴，MGy轴，BMGAHM（AAS），BGAH，GMMH，GMMH，4MHMH3，MH，M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k0时，AO，过点Q作QSy轴，ABOBQS（AAS），BSOA，SQOB，Q（4，4）
16、，OQ，当k1时，QO最小值为4；当k0时，Q（4，4），OQ，当k1时，QO最小值为4，与k0矛盾，OQ的最小值为49、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x3（x1+x2），y3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”例如：点P（1，2），Q（2，1），当点M（x，y）满足x3（12）3，y3（2+1）9时，则点M（3，9）是点P，Q的“美妙点”（1）已知点A（1，3），B（3，3），C（2，2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y+2上的一点点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”求y
17、与x的函数关系式；若直线DM与x轴相交于点F，当MEF为直角三角形时，求点D的坐标解：（1）3（1+2）3，3（32）3，点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+2），M是点D、E的“美妙点”x3（3+m）9+3m，y3（0+m+2）m+6，故mx3，y（x3）+6x+3；由得，点M（9+3m，m+6），如图1，当MEF为直角时，则点M（3，4），9+3m3，解得：m2；点D（2，）；当MFE是直角时，如图2，则9+3mm，解得：m，点D（，）；当EMF是直角时，不存在，综上，点D（2，）或（，）10、在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y
18、轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比如图1，矩形ABCD为DEF的投影矩形，其投影比k（1）若点A（1，1），B（2，3），则OAB投影比k的值为 ；（2）若点M（2，0），点N（2，1）且MNP投影比k，则点P的坐标可能是 （填写序号）；（1，3）；（2，2）；（3，3）；（0，2）（3）已知点C（4，0），在函数y2x4（其中x2）的图象上有一点D，若OCD的投影比k3，求点D的坐标解：（1）如图2，过点B作BCx轴于点C，作BDy轴于点D，则矩形OCBD为OAB的投影矩形，点B（2，3），OC2，BC3，OA
19、B投影比k的值（2）如图3，点P的坐标为（1，3）时，MNP投影比k；点P的坐标为（2，2）时，MNP投影比k；点P的坐标为（3，3）时，MNP投影比k；点P的坐标为（0，2）时，MNP投影比k2则点P的坐标可能是（1，3）；（2，2）；（3）点D为函数y2x4（其中x2）的图象上的点，设点D坐标为（x，2x4）（x2）分以下两种情况：当0x2时，如图4所示，作投影矩形OMNCOCOM，k3，解得x，D（，）；当x0时，如图5所示，作投影矩形MDNC点D坐标为（x，2x4），点M点坐标为（x，0），DM|2x4|42x，MC4x，x0，DMCM，k3，解得x8当x0时，满足条件的点D不存在综上
20、所述，点D的坐标为D（，）故答案为：；11、阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图：在ABC中，ACB90，ACBC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADCCEB（1）探究问题：如果ACBC，其他条件不变，如图，可得到结论；ADCCEB请你说明理由（2）学以致用：如图，在平面直角坐标系中，直线yx与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为，且tan，请你求出直线CD的解析式（3）拓展应用：如图，在矩形ABCD中，AB3，BC5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E
21、顺时针旋转90，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD若DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长解：（1）理由：ACB90，ACDBCE90，又ADC90，ACD+DAC90，BCEDAC，且ADCBEC90，ADCCEB；（2）如图，过点O作ONOM交直线CD于点N，分别过M、N作MEx轴NFx轴，由（1）可得：NFOOEM，点M（2，1），OE2，ME1，tan，NF3，OF，点N（，3），设直线CD表达式：ykx+b，直线CD的解析式为：yx+；（3）当CDP90时，如图，过点P作PHBC，交BC延长线于点H，ADC+CDP180，点A，点D，点P三点共线，B
22、APBH90，四边形ABHP是矩形，ABPH3，将线段AE绕点E顺时针旋转90，AEEP，AEP90，AEBPEH90，且BAE+AEB90，BAEPEH，且BH90，AEEP，ABEEHP（AAS），BEPH3，当CPD90时，如图，过点P作PHBC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，CDNH3，DNCH，设BEx，则EC5x，将线段AE绕点E顺时针旋转90，AEEP，AEP90，AEBPEH90，且BAE+AEB90，BAEPEH，且BEHP90，AEEP，ABEEHP（AAS），PHBEx，ABEH3，PN3x，CH3（5x）x2DN，DPC90，DPN+CPH90，且CPH+PCH90，PCHDPN，且NCHP90，CPHPDH，x点P在矩形ABCD外部，x，BE，综上所述：当BE的长为3或时，DPC为直角三角形