1、3.1.3 导数的几何意义目标定位重点难点1.理解导函数的定义2了解导数的几何意义，会求曲线在某点处的切线斜率，进而求出切线方程重点：导数的几何意义难点：导数的几何意义的理解1导数的几何意义曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数f(x0)的几何意义为_，相应地，曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为_切线的斜率yf(x0)f(x0)(xx0)2yf(x)的导函数当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数)f(x)也记作y，即f(x)y_.limx0fxxfxx1函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几
2、何意义是()A在点x0处的斜率B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率D点(x0，f(x0)与点(0,0)连线的斜率【答案】C2曲线yx2在x0处的()A切线斜率为1B切线方程为y2xC没有切线D切线方程为y0【答案】D3已知曲线yx3在点(2,8)处的切线方程为12xay160，则实数a的值是()A1B1C2D2【答案】B 4曲线yx23x在点(2,10)处的切线的斜率是_【答案】7【例1】求曲线yx32x在点(1，1)处的切线方程【解题探究】根据导数的几何意义求切线的斜率即可求曲线上某点处的切线方程【解析】y limx0 xx
3、32xxx32xx3x22，则斜率为 y|x11.所以切线方程为 y1x1，即 xy20.8过曲线上一点求切线方程的步骤：1求曲线 y1x在点2，12 处的切线方程【解析】因为 yx2 limx012x12xlimx0122x14，所以曲线 y1x在点2，12 处的切线斜率为14.由直线的点斜式方程可得切线方程为 y1214(x2)，即x4y40.已知过曲线外一点，求切线方程【例 2】求过点 A(2,0)且与曲线 y1x相切的直线方程【解题探究】设出切点，根据导数的几何意义求切线在某一点处的斜率，把点代入切线方程求切点坐标【解析】设 P(x0，y0)(x00)为切点，因为 y limx01xx
4、1xx1x2，则切线的斜率为 y|xx01x20，所以切线方程为 yy01x20(xx0)，即 y1x01x20(xx0)又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，得1x01x20(2x0)，解得 x01，y01x01，即切点为(1,1)，故所求的切线方程为 y1(x1)，即 xy20.8求过曲线外一点的切线方程时，设切点坐标，求出切线方程，再把已知点代入切线方程求得切点坐标，进而求得切线也可将切线的斜率用两点式和切点处的导数分别表示出来，求出切点，进而求得切线2试求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程【解析】由已知得yx2xx，limx0yx2x，即 y2x.设所求切线的切点为 A
5、(x0，y0)，点 A 在曲线 yx2 上，y0 x20.A 是切点，过点 A 的切线斜率 y|xx02x0.所求的切线过点 P(3,5)和 A(x0，y0)，其斜率为y05x03x205x03，则 2x0 x205x03.解得 x01 或 x05，从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为 k12x02，当切点为(5,25)时，切线的斜率为 k22x010.所求切线有两条，方程分别为 y12(x1)和 y2510(x5)，即 y2x1 和 y10 x25.【例3】已知曲线yx2在点P处的切线分别满足下列条件，求点P的坐标(1)平行于直线y4x5；(2)倾
6、斜角为135.【解题探究】设切点坐标，根据导数的几何意义求切线斜率，然后利用条件(平行、倾斜角)求切点坐标求切点坐标【解析】ylimx0yxlimx0 xx2x2x2x，设 P(x0，y0)为所求的点(1)因为切线与直线 y4x5 平行，所以 2x04，则 x02，y04，即 P(2,4)(2)因为切线与 x 轴成 135的倾斜角，所以其斜率为1，即 2x01，得 x012，即 y014，即 P12，14.8求切点坐标的步骤：(1)设出切点坐标(2)利用导数或斜率公式求出斜率(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标3已知曲线C：yx33x22x
7、，直线l：ykx且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标【解析】直线 l 过原点，则 ky0 x0(x00)，由点(x0，y0)在曲线 C 上，则 y0 x303x202x0，所以 ky0 x0 x203x02.又 y(xx)33(xx)22(xx)(x33x22x)3x2x3x(x)23(x)26xx2x，y limx0yx3x26x2.所以在(x0，y0)处，曲线 C 的切线斜率应为ky|xx03x206x02.所以 x203x023x206x02，解得 x032(x00 舍去)此时 y038，k14.因此直线 l 的方程为 y14x，切点坐标为32，38
8、.【示例】已知曲线yax2bx5在点(2,1)处的切线方程为y3x7，求a，b的值忽略隐含条件致误【错解】fxxfxxaxx2bxx5ax2bx5x2axbax.y limx0(2axbax)2axb，所以 y|x24ab.所以直线 y1(4ab)(x2)与直线 y3x7 是同一条直线所以4ab3，124ab7，化简得 4ab3.到此，少一个条件，问题不可以解决【错因分析】忽视了切点在曲线上这一条件而导致思路受阻【正解】由题可知 y2axb，所以 y|x24ab.所以直线 y1(4ab)(x2)与直线 y3x7 是同一条直线所以4ab3，124ab7，化简得 4ab3.又点(2,1)在曲线上，
9、所以 4a2b51.由联立方程组得4ab3，4a2b51，解得a3，b9.【警示】在求切线方程中的参数时，一定要注意切点在曲线上也在切线上这个隐含条件1导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即 klimx0fx0 xfx0 xf(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又密切相关f(x0)是导函数 yf(x)在 xx0 处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这一点处的导数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点
10、是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点1下面说法正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在【答案】C【解析】f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，当切线垂直于 x 轴时，切
11、线的斜率不存在，但存在切线2.曲线 f(x)3x26 在 x16处的切线的倾斜角是()A135 B45C45 D135【答案】D【解 析】f 16 limx0f16x f16x limx0316x 2631626x limx0(3x1)1.所以切线的倾斜角为 135.故选 D.【解析】f(1)limx0f1x f1xlimx011x21x3xlimx0 211x 1，则函数f(x)在 x1 处切线的倾斜角为4.3已知曲线 yx24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A1B2C3D4【答案】A【解析】由导数的定义知 ylimx0yxlimx02xx4x212，则 x1.故选 A.4如图，直线l是曲线yf(x)在x5处的切线，则f(5)f(5)_.【答案】7【解析】f(5)为直线 l 的斜率，由图可得 k55502，故 f(5)2，f(5)5，则 f(5)f(5)7.点击进入WORD链接