1、考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及其概念，并掌握运用微积分定理求定积分值(重点)2准确掌握定积分的计算公式，能熟练求出定积分及曲边梯形的面积(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的冷考点，高考中即使考查定积分的试题，难度一般也不会太大预测2020年可能涉及定积分的计算、分段函数的定积分、定积分的几何意义等，以求曲边梯形的面积与几何概型综合考查为主要命题方向，试题难度一般不大，以选择、填空形式呈现基础知识过关 1.定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i
2、1,2，n)，作和式ni1f(i)xni1ban f(i)，当n时，上述和式无限接近某个，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dxlimn ni1ban f(i)其中f(x)称为函数，a称为积分限，b称为积分限01 常数02 被积03 下04 上2.定积分的几何意义3.定积分的性质性质1：abkf(x)dx(k为常数)性质2：abf(x)g(x)dx .性质3：abf(x)dxacf(x)dx .01 kabf(x)dx02abf(x)dxabg(x)dx03cbf(x)dx4.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(
3、x)f(x)，那么abf(x)dx这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式可以把F(b)F(a)记为F(x)|ba，即abf(x)dxF(x)|ba01 F(b)F(a)02 F(b)F(a)5.定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S.(1)Sabf(x)dx；(2)S；(3)S；(4)Sabf(x)dxabg(x)dxabf(x)g(x)dx.01 abf(x)dx02acf(x)dxcbf(x)dx6.函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有：(1)若f(x)为偶函数，则aaf(x)dx20af(x)dx.(2)设f(x)为奇函数，则aaf(x)dx0.1.概念辨析(1)在
4、区间a，b上连续的曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积Sab|f(x)|dx.()(2)若abf(x)dx0)，则从t0到tt0质点所经过的路程是0tomtdtmt202.()2.小题热身(1)如图，指数函数的图象过点E(2，9)，则图中阴影部分的面积等于()A 8ln 3B8C 9ln 3D9答案 A答案 解析 答案 B答案 解析(3)-12|x|dx_.解析-12|x|dx的几何意义是函数y|x|的图象与x轴围成的图形(如图阴影所示)的面积，所以-12|x|dx1211122252.答案 52答案 解析(4)若0tx2dx9，则常数t的值为_解析 0tx2dx
5、x33|t0t339，解得t3.答案 3答案 解析 经典题型冲关 题型 一 定积分的计算答案 C答案 解析 解析 2.-55 (3x34sinx)dx_.解析 易证函数f(x)3x34sinx为奇函数，所以-55(3x34sinx)dx0.答案 0答案 解析 3.02 x22xdx_.解析 答案 2答案 解析 求定积分的常用方法(1)微积分基本定理法其一般步骤为：把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分分别用求导公式找到一个相应的原函数 利用微积分基本定理求出各个定积分的值计算原始定积分的
6、值(2)几何意义法将待求定积分转化为一个易求平面图形的面积，进而求值如举例说明3.(3)基本性质法对绝对值函数、分段函数，可利用定积分的基本性质将积分区间分解为若干部分求解1.(2018华南师大附中一模)01|x24|dx()A.7 B.223 C.113 D4答案 C答案 解析 解析 2.-11 e|x|dx的值为_解析答案 2(e1)答案 解析 3.若f(x)32xx2，则13f(x)dx_.解析 令y 32xx2，则(x1)2y24(y0)，所以函数f(x)的图象是以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方(包括x轴)的部分，所以13f(x)dx1422.答案 答案 解析 题型 二 利用
7、定积分求平面图形的面积角度1 求平面图形的面积(多维探究)1.(2018玉溪模拟)由曲线xy1，直线yx，x3及x轴所围成的曲边四边形的面积为()A116B92C12ln 3 D4ln 3答案 C答案 解析 解析 条件探究1 将举例说明1中的“曲边四边形”改为“由曲线xy1，直线yx，y3所围成的封闭平面图形”，试求此平面图形的面积解 答案 条件探究2 将举例说明1中的“曲边四边形”改为“由y x，yx2及x轴围成的封闭图形”，试求此平面图形的面积解 答案 角度2 已知平面图形的面积求参数 答案(1,1)答案 解析 解析 角度3 与其他知识的交汇命题 答案 B答案 解析 由题意可得，是与面积有
8、关的几何概率问题构成试验的全部区域是矩形OABC，面积为a6a6，记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分面积，为解析 利用定积分求平面图形面积的四个步骤1如图所示，阴影部分的面积为()A.12 B.23 C.1 D.76答案 C答案 解析 解析 2如图，点M在曲线yx，若由曲线yx与直线OM所围成的阴影部分的面积为16，则实数a等于()A12B13C1 D2答案 C答案 解析 解析 3若函数f(x)Asinx6(A0，0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为_答案 2 32答案 解析 解析 题型 三 定积分在物理中的应用1一辆汽车在高速公
9、路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t 251t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln 113C425ln 5 D450ln 2答案 C答案 解析 解析 2一物体做变速直线运动，其 v-t曲线如图所示，则该物体在126 s间的运动路程为_ m.答案 494答案 解析 解析 解析 1物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3 B4 C5 D6答案 C答案 解析 解析 2一物体在力F(x)5，0 x2，3x4，x2(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_J.答案 36答案 解析 解析