1、安徽省马鞍山二中、安师大附中2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集U=R，集合A=x|x+10，B=x|x30，那么集合（UA）B=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|x1Dx|x32（5分）已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）3（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值等于（）A9B12C27D364（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=（a1，nN*），在验证当n=
2、1时，等式左边应为（）A1B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a35（5分）非零向量，|=m，|=n，若向量=1+2，则|的最大值为（）A1m+2nB|1|m+|2|nC|1m+2n|D以上均不对6（5分）若函数f（x）=x2+x+1在区间（，4）上有极值点，则实数a的取值范围是（）A（2，）B2，）C（，）D（2，）7（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，和是两个不同的平面，且a，b，=c下列命题中正确的是（）A若a与b是异面直线，则c与a，b都相交B若a不垂直于c，则a与b一定不垂直C若ab，则acD若ab，ac则8（5分）设a，b为正实数，则“ab”是“ab”成立的（）A充分不必要条
3、件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件9（5分）ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（）AB3CD310（5分）设等差数列an满足：=1，公差d（1，0）若当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，则首项a1取值范围是（）A（，）B（，）C，D，二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题纸相应位置上）11（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为12（5分）若存在实数x，2满足2xa，则实数a的取值范围是13（5分）已知函数f（x）=2sin（x+）（其中xR，0，）的部分图象如图所示如果对函数
4、g（x）的图象进行如下变化：横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f（x）函数的图象，则函数g（x）的解析式是14（5分）已知首项为正数的等差数列an中，a1a2=2则当a3取最大值时，数列an的公差d=15（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数，例如，函数f（x）=2x+1（xR）是单函数下列命题：函数f（x）=x2（xR）是单函数；指数函数f（x）=2x（xR）是单函数；若f（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）f（x2）；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；若f（x）为单函数，则函数f（x）在
5、定义域上具有单调性其中的真命题是（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，MCN=，在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c（）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2求c的值；（）若c=，ABC=，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值17（12分）已知数列xn满足x1=，xn+1=，nN*猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论18（12分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DEBC，AE平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点（）求证：EF平面ACD；（）若E
6、A=EB=CD，求二面角BADE的正切值的大小19（13分）已知等差数列an的公差为1，首项为正数，将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，（）求数列an的通项公式an与前n项和Sn；（）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且Sm，Sn，Sp成等比数列20（13分）如图，某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为立方分米设圆锥纸筒底面半径为r分米，高为h分米（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值21（13分）已知函数f（x）=ln（x+1）x（x1）（1）求
7、f（x）的单调区间；（2）已知数列an的通项公式为an=1+（nN+），求证：a2a3a4an（e为自然对数的底数）；（3）若kZ，且k对任意x1恒成立，求k的最大值安徽省马鞍山二中、安师大附中2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集U=R，集合A=x|x+10，B=x|x30，那么集合（UA）B=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|x1Dx|x3考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：先对两个集合进行化简，再根据集合运算的性质求集合（CUA）B解答：解：A
8、=x|x+10=（，1），B=x|x30=（，3），CUA=1，+）（CUA）B=1，3）故选A点评：本题考点是交并补集的混合运算，根据集合去处的性质求集合，属于集合中的基本题型2（5分）已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）考点：等比数列的前n项和 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求解答：解：3an+1+an=0数列an是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选C点评：本题主要
9、考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题3（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值等于（）A9B12C27D36考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（3，3），化目标函数z=x+3y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z最大此时z=3+33=12故选：B点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题4（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=（a1，nN*），在验
10、证当n=1时，等式左边应为（）A1B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a3考点：数学归纳法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：由数学归纳法即可得出解答：解：在验证当n=1时，等式左边应为1+a+a2故选：C点评：本题考查了数学归纳法证题的步骤，属于基础题5（5分）非零向量，|=m，|=n，若向量=1+2，则|的最大值为（）A1m+2nB|1|m+|2|nC|1m+2n|D以上均不对考点：向量加减混合运算及其几何意义 专题：平面向量及应用分析：利用数量积的性质即可得出解答：解：非零向量，|=m，|=n，向量=1+2，=，|的最大值为|1|m+|2|n故选：B点评：本题考查了数量积的性质，属
11、于基础题6（5分）若函数f（x）=x2+x+1在区间（，4）上有极值点，则实数a的取值范围是（）A（2，）B2，）C（，）D（2，）考点：利用导数研究函数的极值 专题：计算题；导数的综合应用分析：求导f（x）=x2ax+1，从而先判断=a240；从而可得a2或a2；从而讨论求实数a的取值范围解答：解：f（x）=x2+x+1，f（x）=x2ax+1，x2ax+1=0有两个解则=a240；故a2或a2；函数f（x）=x2+x+1在区间（，4）上有极值点可化为x2ax+1=0在区间（，4）有解，当2a8时，f（4）0，即164a+10，故a；故2a；当a8时，f（4）f（）0，无解；综上所述，2a故
12、选：D点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题7（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，和是两个不同的平面，且a，b，=c下列命题中正确的是（）A若a与b是异面直线，则c与a，b都相交B若a不垂直于c，则a与b一定不垂直C若ab，则acD若ab，ac则考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：阅读型；空间位置关系与距离分析：若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，即可判断A；若a不垂直于c，假设ac，bc，则有ba，即可判断B；运用线面平行的判定定理和性质定理，即可判断C；运用面面垂直的判定定理，即可判断D解答：解：对于A若a，b是异面直
13、线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，故A错；对于B，若a不垂直于c，假设ac，bc，则有ba，故B错；对于C若ab，则由线面平行的判定定理得，a，再由线面平行的性质定理，可得ac，故C对；对于D若ab，ac，如果bc，则、不垂直，只有b、c相交，才有，故D错故选C点评：本题考查空间直线的位置关系，考查线面平行的判定和性质的运用，考查面面垂直的判定定理，考查空间想象能力，属于中档题和易错题8（5分）设a，b为正实数，则“ab”是“ab”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：由0a
14、b容易得到a，而a时，根据a0，b0容易得到ab（ab）ba，所以ab，所以最后得出ab是a的充要条件解答：解：（1）0ab；（2）若；a，b0；a2bbab2a；ab（ab）ba；ba0；ab；综上得ab是的充要条件故选：D点评：考查0ab时，的大小关系，以及充分条件，必要条件，充要条件的概念9（5分）ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（）AB3CD3考点：平面向量数量积的含义与物理意义 专题：计算题分析：由题意画出图形，借助与图形利用向量在方向上的投影的定义即可求解解答：解：由题意因为ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，对于，所以可以得到图形为：因为，所以四
15、边形ABOC为平行四边形，又由于，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60的菱形，所以向量在方向上的投影为：=故选：A点评：此题考查了两个向量的夹角定义，还考查向量在另外一个向量上的投影的定义及学生的分析问题的数形结合的能力10（5分）设等差数列an满足：=1，公差d（1，0）若当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，则首项a1取值范围是（）A（，）B（，）C，D，考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数
16、的对称轴的范围求解首项a1取值范围解答：解：由=1，得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，sin（3d）=1d（1，0），3d（3，0），则3d=，d=由=对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，解得：首项a1的取值范围是故选：B点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力，是中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题纸相应位置上）11（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为6考点：球的体积和表面积；由三视图求
17、面积、体积；球内接多面体 专题：计算题分析：由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积解答：解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R=，所以外接球的表面积为：4R2=6故答案为：6点评：本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力12（5分）若存在实数x，2满足2xa，则实数a的取值范围是考点：基本不等式 专题：导数的综合应用分析：存在实数x，2满足2xa，实数x，2利用导数研究函数f（x）=的单调性极值与最值即可解答：解：存在实数x，2满足2xa，即，
18、存在实数x，2令f（x）=，实数x，2=，当时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（1，2时，f（x）0，函数f（x）单调递增又=，f（2）=5因此函数f（x）的最大值为实数a的取值范围是：故答案为：点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、存在型恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题13（5分）已知函数f（x）=2sin（x+）（其中xR，0，）的部分图象如图所示如果对函数g（x）的图象进行如下变化：横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f（x）函数的图象，则函数g（x）的解析式是g（x）=2sin（4x+）考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解
19、析式 专题：三角函数的图像与性质分析：由图可知T=，可求得=2，利用五点作图法可知2+=，从而可解得，于是可得函数f（x）的解析式，利用y=Asin（x+）的图象变换即可求得函数g（x）的解析式解答：解：由图可知，=+=，T=，解得=2，f（x）=2sin（2x+），又由五点作图法知，2+=，=；f（x）=2sin（2x+）；又将函数g（x）的图象的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f（x）函数的图象，函数g（x）的解析式为：g（x）=2sin（4x+）故答案为：g（x）=2sin（4x+）点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（x+）的图象
20、变换，属于中档题14（5分）已知首项为正数的等差数列an中，a1a2=2则当a3取最大值时，数列an的公差d=3考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：设公差为d，则由题意可得a1（a1+d）=2，求得d=a1，再根据a3=a1+2d=（+a1），利用基本不等式，求得当a3取最大值时，d的值解答：解：首项为正数的等差数列an中，a1a2=2，设公差为d，则 a1（a1+d）=2，d=a1，a3=a1+2d=（+a1）2=4，当且仅当a1=2时，等号成立，此时，d=a1=12=3即当d=3时，a3取最大值故答案为：3点评：本题主要考查等差数列的定义和通项公式，基本不等式的应用，属于中
21、档题15（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数，例如，函数f（x）=2x+1（xR）是单函数下列命题：函数f（x）=x2（xR）是单函数；指数函数f（x）=2x（xR）是单函数；若f（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）f（x2）；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；若f（x）为单函数，则函数f（x）在定义域上具有单调性其中的真命题是（写出所有真命题的编号）考点：进行简单的合情推理 专题：综合题；推理和证明分析：利用单函数的定义当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，分别对五个命题进行判断，可以得出正确
22、结论解答：解：对于函数f（x）=x2，由f（x1）=f（x2）得x12=x22，即x1=x2或x1=x2，所以不是单函数，错误；对于函数f（x）=2x，由f（x1）=f（x2）得，x1=x2，所以是单函数，正确；对于f（x）为单函数，则f（x1）=f（x2）时，有x1=x2，逆否命题是x1x2时，有f（x1）f（x2），所以是正确的；若函数f（x）是单调函数，则满足f（x1）=f（x2）时，有x1=x2，所以是单函数，正确；存在函数是单函数，但函数f（x）在定义域上不具有单调性，故不正确故答案为：点评：本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用单函数的定义是解决本题的关键三、解答题（本大题共
23、6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，MCN=，在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c（）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2求c的值；（）若c=，ABC=，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（）由题意可得 a=c4、b=c2又因，可得 ，恒等变形得 c29c+14=0，再结合c4，可得c的值（）在ABC中，由正弦定理可得AC=2sin，ABC的周长f（）=|AC|+|BC|+|AB|=再由，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（）取得最大值解答：解：
24、（）a、b、c成等差，且公差为2，a=c4、b=c2又，恒等变形得 c29c+14=0，解得c=7，或c=2又c4，c=7（6分）（）在ABC中，由正弦定理可得 ，AC=2sin，ABC的周长f（）=|AC|+|BC|+|AB|=，（10分）又，当，即时，f（）取得最大值 （12分）点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题17（12分）已知数列xn满足x1=，xn+1=，nN*猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法；推理和证明分析：求出数列的前几项，利用数学归纳法进行证明即可解答：解：由x1=，xn+1=，
25、得x2=，x4=，x6=，由x2x4x6，猜想：数列x2n是递减数列 （4分）下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即x2kx2k+2，易知xk0，那么x2k+2x2k+4=0，即x2（k+1）x2（k+1）+2，也就是说，当n=k+1时命题也成立结合（1）和（2）知命题成立 （12分）点评：本题主要考查数列单调性的判断，利用数学归纳法是证明本题的关键，要求熟练掌握归纳法的方法和步骤18（12分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DEBC，AE平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点（）求证：EF平面ACD；（）若EA=EB=CD，求二面角BADE
26、的正切值的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF平面ACD（）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MHAD，垂足为H，连接BH，则BHM是二面角BADE的平面角，由此能求出二面角BADE的正切值的大小解答：解：（）证明：取AC中点G，连接DG，FG因为F是AB的中点，所以FG是ABC的中位线，则FGBC，FG=，所以FGDE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EFDG，故EF平面ACD（）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE
27、平面BCDE，所以AEBM，则BM平面ADE，过M作MHAD，垂足为H，连接BH，则AD平面BMH，所以ADBH，则BHM是二面角BADE的平面角设DE=a，则BC=AB=2a，在BEM中，EM=，BE=，所以BM=又因为ADEMDH，所以HM=，则tanBHM=点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（13分）已知等差数列an的公差为1，首项为正数，将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，（）求数列an的通项公式an与前n项和Sn；（）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且
28、Sm，Sn，Sp成等比数列考点：等比关系的确定；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）由题意设前4项为a、a1、a2、a3，根据等比中项的性质分别列出四个方程，由等比数列的项不为零，求出a的值，代入通项公式和前n项和公式求出an与Sn；（）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，根据等比中项的性质得Sn2=SmSp，把Sn代入并化简，再由基本不等式得出矛盾，从而说明假设不成立解答：解：（）由题意设前4项为a、a1、a2、a3，且a0，因为4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，则（a1）2=a（a2）或（a2）2=（a1）（a3）或（a1）2=a（a3）或（a
29、2）2=a（a3），又a0，且a1、2、3，解得a=4，所以an=5n，Sn=（）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，由Sm，Sn，Sp成等比数列得，Sn2=SmSp，所以，即=，又m，n，p成等差数列，则2n=m+p，所以=（9n）2，且mp=n2，则，当且仅当m=p时取等号故不存在三个不等正整数m、n、p，使m、n、p成等差数列且Sm，Sn，Sp成等比数列点评：本题考查等比中项的性质，等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及利用基本不等式证明数列的不等式问题，难度较大，比较综合20（13分）如图，某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为立
30、方分米设圆锥纸筒底面半径为r分米，高为h分米（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法 专题：导数的综合应用分析：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，由该圆锥纸筒的容积为，利用=，即可得出；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，设该纸筒的侧面积为S，则S=rl，其中l为圆锥的母线长，且l=，S=（h0），设f（h）= （h0 ），利用导数研究其单调性即可得出解答：解：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=，由该圆锥纸筒的容积为，则=，即r2h=3，故r与
31、h满足的关系式为r2h=3；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，设该纸筒的侧面积为S，则S=rl，其中l为圆锥的母线长，且l=，S=（h0），设f（h）= （h0 ），由=0，解得h=，当时，f（h）0；当时，f（h）0；因此，时f（h）取得极小值，且是最小值，此时亦最小；由r2h=3得=，最省时的值为点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、圆锥的体积与侧面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（13分）已知函数f（x）=ln（x+1）x（x1）（1）求f（x）的单调区间；（2）已知数列an的通项公式为an=1+（nN+）
32、，求证：a2a3a4an（e为自然对数的底数）；（3）若kZ，且k对任意x1恒成立，求k的最大值考点：数列与函数的综合 专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：（1）根据题意先求函数的导函数f（x），令f（x）0，f（x）0，求出满足条件的范围，即可求出函数的单调区间；（2）由（1）知，当x0时，f（x）f（0）=0，即ln（x+1）x由，令k=2，3，n，累加后，利用放缩法可得答案；（3）令，则令h（x）=xlnx2，则，利用导数法，分析函数的图象和性质，可得答案解答：解：（1）f（x）=ln（x+1）x，当x（1，0）时，f（x）0；当x（0，+）时，f（x）0f（x）的单调递增区
33、间是（1，0），单调递减区间是（0，+）证明：（2）由（1）知，当x0时，f（x）f（0）=0，即ln（x+1）x，令k=2，3，n，这n1个式子相加得：=即，解：（3）令，则令h（x）=xlnx2，则，故h（x）在（1，+）上单调递增，而h（3）=1ln30，h（4）=2ln40，h（x）存在唯一零点x0（3，4），即x0lnx02=0当x（1，x0）时，h（x）h（x0）=0，即g（x）0；当x（x0，+）时，h（x）h（x0）=0，即g（x）0g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，故由题意有kg（x）min=x0，又kZ，x0（3，4），所以k的最大值是3点评：本题考查的知识点是数列与函数的综合，不等式的证明，恒成立问题，利用导数求函数的最值，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题