1、3.1.2 导数的概念目标定位重点难点1.会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时加速度2理解并掌握导数的概念，学会求函数在某一点处导数的方法重点：导数的定义和求导方法难点：导数概念的理解1瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为_物体在 t0 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在 t0 到 t0t 这段时间内的平均变化率st0tst0t当 t0 时的极限，即 vlimt0st_.瞬时速度limt0st0tst0t2瞬时加速度一 般 地，我 们 计 算 运 动 物 体 速 度 的 平 均 变 化 率vt0tvt0t时，如果当 t0 时，vt0tvt0t无限趋近于 一 个 _，那 么 这
2、 个 常 数 称 为 物 体 在 t t0 时 的_常数瞬时加速度3瞬时变化率一般地，函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是limx0yx_.4导数的概念一 般 地，函 数 y f(x)在 x x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是_，我们称它为函数 yf(x)在 xx0处的_，记为_或_，即 f(x0)y|xx0limx0yx_.limx0fx0 xfx0 xlimx0fx0 xfx0 x导数f(x0)y|xx0limx0fx0 xfx0 x1设物体直线运动的位移为 s(t)，给出下面四个命题：st表示平均速度；limt0st表示瞬时速度；st的值不变；limt0st的值不变其中正确命题
3、的个数为()A4 个B3 个C2 个D1 个【答案】C2已知函数 yf(x)，那么下列说法错误的是()Ayf(x0 x)f(x0)叫函数的增量B.yxfx0 xfx0 x叫函数在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率C.fx0 xfx0 x叫函数 yf(x)在 x0 处的导数D.limxx0fxfx0 xx0叫函数 yf(x)在 x0 处的导数【答案】C3一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t3秒时的瞬时速度是()A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒【答案】C4设f(x)ax32，若f(1)3，则a_.【答案】1【例1】一辆汽车按规律s2t23作直线运
4、动，求这辆汽车在t2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)【解题探究】求物体运动的瞬时速度，就是求该物体在某一时间点处的位移的导数求瞬时速度【解析】设这辆汽车在 t2 附近的时间变化量为 t，则位移的增量 s2(2t)23(2223)8t2(t)2，st82t，limt0stlimt0(82t)8.所以这辆汽车在 t2 时的瞬时速度为 8 m/s.81求运动物体瞬时速度的步骤：(1)求时间改变量 t 和位移改变量 ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度 vst.(3)求瞬时速度，当 t 无限趋近于 0 时，st无限趋近于常数 v，即为瞬时速度2求yx(当 x 无限趋近于 0 时)的极限的
5、方法：(1)在极限表达式中，可把 x 作为一个数来参与运算(2)求出yx的表达式后，x 无限趋近于 0 就是令 x0，求出结果即可1质点按规律s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)若质点在t2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值【解析】ss(2t)s(2)a(2t)21(a221)4ata(t)2，st4aat.在 t2 时，瞬时速度为limt0st4a，即 4a8.a2.【例2】试求函数f(x)x(2|x|)在x0处的导数值f(0)【解题探究】利用导数的定义求解函数在某点处的导数【解析】因为f0 xf0 xfxx x2|x|x2|x|，所以 f(0)limx0(2|x|)
6、2.81用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：(1)求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)(2)求平均变化率yxfx0 xfx0 x.(3)求极限 limx0yx.82瞬时变化率的变形形式：limx0fx0 xfx0 x limx0fx0 xfx0 x limx0fx0nxfx0nx limx0fx0 xfx0 x2xf(x0)2试求函数f(x)x2在x1和x1处的导数值【解析】f(1)limx0f1xf1xlimx01x212x limx0(x2)2.f(1)limx0f1xf1xlimx01x212x limx0(x2)2.对导数定义式的理解易错【示例】已知 a limx0fx0 xf
7、x0 x，b limx0fx0 xfx0 x，c limx0fx02xfx0 x，d limx0fx0 xfx0 x2x，e limx0fxfx0 xx0，则 b，c，d，e 中与 a 相等的是()Ac，dBd，eCb，eDc，e【错解】A，C或D【错因分析】对导数定义式中的x，x0等的含义理解不透彻，无法识别出定义式的各种变形【正解】a limx0fx0 xfx0 x是函数 f(x)在 xx0 处的导数的标准定义式，故 af(x0)b limx0fx0 xfx0 x limx0fx0 xfx0 xf(x0)c limx0fx02xfx0 x2 limx0fx02xfx02x2f(x0)d l
8、imx0fx0 xfx0 x2x limx0fx0 xfx0 xx0 xx0 x f(x0)e limx0fxfx0 xx0，把 x 变成 x0 x 即得到标准定义式，故 ef(x0)故 ade.故选 B.【警示】fx0 xfx0 x中的 x0 是常数，x 是可趋近于 0 的变量，其形式可以变化，如变成x,2x 等，要正确表示出相应的导数，应保持分子和分母同步变化1函数 yf(x)在某一点 xx0 处的导数就是函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率，也就是函数 yf(x)在区间x0，x0 x上的平均变化率在 x0 时的值2用定义求函数在某一点处导数的步骤：求平均变化率，yxfx0 xfx0
9、 x；取极限，得导数 f(x0)limx0fx0 xfx0 x.1.设函数 f(x)可导，则limx0f1xf13x()Af(1)B3f(1)C13f(1)Df(3)【答案】C【解 析】limx0f1xf13x 13 limx0f1xf1x 13f(1)故选 C.2如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图象是()A直线 B圆 C椭圆 D抛物线【答案】A【解析】当 f(x)b 时，瞬时变化率 limx0yxlimx0bbx 0，f(x)的图象为一条直线3某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时时，原油温度(单位：)为 f(x)13x3x28(0 x5)，那么当 x1 时原油温度的瞬时变化率是()A8 B203C1 D8【答案】C【解析】yf(1x)f(1)13(1x)3(1x)281313128 13(x)3x，所以yx13(x)21.所以 f(1)limx0yx1.4任一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)3tt2，则物体的初速度是_m/s.【答案】3【解析】初速度其实就是 t0 s 时的瞬时速度，根据瞬时速度的定义，知 vlimt0stlimt0s0ts0tlimt0(3t)3，易该物体的初速度为 3 m/s.点击进入WORD链接