1、2对数的运算水平1题组一对数运算性质的应用1计算的值为()A B C2 D1【解析】选D.1.2已知方程x28x40的两根为a，b，则log8alog8b()A B1 C2 D【解析】选A.因为方程x28x40的两根为a，b，所以ab4，所以log8alog8blog8ablog84.3已知ln 2a，ln 3b，则ln (36e3)可以用a和b表示为()Aa2b3 B4a2b2C2a2b3 D2a3b3【解析】选C.ln (36e3)ln 36ln e3ln (2232)3ln eln 22ln 3232ln 22ln 332a2b3.4计算：lg 52lg 8lg 5lg 20(lg 2)
2、2.【解析】原式2lg 52lg 2lg 5(1lg 2)(lg 2)22(lg 5lg 2)lg 5lg 2(lg 5lg 2)2lg 5lg 2213.题组二换底公式的应用1若2a3，3b4，4cab，则abc()A B1 C2 D4【解析】选B.根据题意，2a3，3b4，则alog23，blog34，则有ablog23log342，则clog4ablog42，故abc1.2设logca，logcb是方程x25x30的两个实根，则logc_.【解析】根据题意，logca，logcb是方程x25x30的两个实根，则，变形可得：(logcalogcb)2(logcalogcb)24logcal
3、ogcb37，则logcblogca，即logc，则.答案：3已知log189a，18b5，则log3645_【解析】因为log189a，blog185，所以ablog189log185log18(95)log1845，log1836log18(218)1log1821log182log1892a，所以log3645.答案：题组三对数的综合应用1设f(x)logax(a0，且a1)，对于任意的正实数x，y，都有()Af(xy)f(x)f(y) Bf(xy)f(x)f(y)Cf(xy)f(x)f(y) Df(xy)f(x)f(y)【解析】选B.由对数运算法则f(xy)loga(xy)logaxl
4、ogay，所以f(xy)f(x)f(y).2设函数f(x)logax(a0且a1)，若loga(x1x2x2 020)7，则f(x)f(x)f(x)()A8 B21 C16 D24【解析】选B.f(x)f(x)f(x)3f(x1)3f(x2)3f(x2 020)3loga(x1x2x2 020)21.3设2a7bm且2，则m()A2 B C D2【解析】选B.2a7bm，所以alog2m，blog7m，logm2logm7logm142，所以m.4围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中也讨论过
5、这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列最接近的是()(注：lg 30.477)A1 025 B1 026 C1 035 D1036【解析】选D.由题意，将取对数，得lg lg 10 00052lg 3361524361lg 335.8，得1035.8，根据选项可得D中1036与其最接近5已知：3a6，2b36，则3_【解析】因为3a6，2b36，所以log36a，log236b，所以log63log62log661，log32log3，所以3log3，故1.答案：6已知函数f(x)5x1，求f(log499log57)的值【解析】log499
6、log57log57log53，f(log53)111.易错点一混淆“真数的乘法(除法)”和“对数的加法(减法)”1已知2lg (x2y)lg xlg y，则的值为()A1 B4C1或4 D或4【解析】选B.因为2lg (x2y)lg (x2y)2lg (xy)，所以x24y24xyxy，所以(xy)(x4y)0，所以xy(舍)或x4y，所以4.2(2021溧阳高一检测)已知ab1，若logablogba，abba，则ab_【解析】因为ab1，所以logab1，所以解logab，得logab，所以ba，即ab3，且abba，所以b3bbb3，所以b33b，且b1，所以b，a3，所以ab9.答案
7、：9【易错误区】同底数的对数相加可化为真数相乘的形式，容易记错公式导致错误易错点二混淆“换底公式中的底数”和“真数”若lg xlg ya，则lg lg ()A3a Ba Ca D【解析】选A.lg lg 3(lg xlg 2)3(lg ylg 2)3(lg xlg y)3a.【易错误区】在利用换底公式化简求值时，混淆换底之后的真数，导致化简错误水平1、2限时30分钟分值60分战报得分_一、选择题(每小题5分,共30分)1.ln 等于()A.0B.C.1D.2【解析】选B.ln =ln e=.2.计算1+log24的结果是()A.6B.7C.8D.10【解析】选A.1+log24=(42+log
8、222=4+2=6.3.若a1,b1,且lg(a+b)=lg a+lg b,则lg(a-1)+lg(b-1)的值等于()A.0B.lg 2C.1D.-1【解析】选A.因为a1,b1,且lg(a+b)=lg a+lg b,所以lg(a+b)=lg ab,所以a+b=ab,所以lg(a-1)+lg(b-1)=lg(a-1)(b-1)=lgab-(a+b)+1=lg 1=0.4.若lg 2=a,lg 3=b,则log524等于()A.B.C.D.【解析】选C.log524=.5.(2021扬州高一检测)已知log2(a-2)+log2(b-1)=1,则2a+b取到最小值时,a+2b的值为()A.3+
9、2B.9C.8D.【解析】选B.根据对数定义域可知a-20,b-10,则a2,b1,由对数运算,化简log2(a-2)+log2(b-1)=1,可得log2(a-2)(b-1)=1,即(a-2)(b-1)=2,化简可得ab=a+2b,则+=1,所以2a+b=(2a+b)=+52+5=9,当且仅当=时取等号,此时2a2=2b2,即,解得,所以a+2b=9.6.一种放射性元素最初的质量为500 g,按每年10%衰减.则这种放射性元素的半衰期为_年.(注:剩余质量为最初质量的一半,所需的时间叫做半衰期),(结果精确到0.1,已知lg 20.301 0,lg 30.477 1)()A.5.2B.6.6
10、C.7.1D.8.3【解析】选B.设放射性元素的半衰期为x年,所以500(1-10%)x=250,所以(1-10%)x=,所以log0.9=x,所以x=lo2,所以x=,所以x=,所以x,所以x6.6.二、填空题(每小题5分,共20分)7.+2+lg 5+lg 20=_.【解析】+2+lg 5+lg 20=+(52+lg 5+lg(45)=2+5+2lg 5+lg 4=7+2lg 5+2lg 2=7+2(lg 2+lg 5)=9.答案:98.已知ab0,下面四个等式中:lg(ab)=lg a+lg b;lg =lg a-lg b;lg=lg ;lg(ab)=.其中结论正确的为_(填序号).【解
11、析】由于ab0,故a0,b0或a0,b0,故对于,当a0,b0时,lg(ab)=lg a+lg b不成立;对于,当a0,b00lg=lg ,故成立;对于,当ab=1时,lg(ab)=不成立.综上,结论正确的为.答案:9.如果x,yR,且2x=18y=6xy,xy0,则x+y=_.【解析】令2x=18y=6xy=t,t0且t1,则x=log2t,y=log18t,xy=log6t,所以+=logt2+logt18=logt36=2logt6=,所以xy=2,即x+y=2.答案:210.已知log2(a+4b)=2log2(2),则a+b的最小值是_.【解析】因为2log2(2)=log2(2)2
12、=log24ab,所以log2(a+4b)=log24ab,所以a+4b=4ab0,所以+=4,所以a+b=(a+b)=,由题意知ab0,则0,0,则a+b=,当且仅当=,即a=2b时取等号.答案:三、解答题11.(10分)(1)求值:(lg 2)2+lg 2lg 50+lg 25.(2)计算:0.2+lg 25+lg 2-log29log32.【解析】(1)因为lg 2+lg 5=lg(25)=lg 10=1,所以原式=(lg 2)2+lg 2lg(252)+lg 52=(lg 2)2+lg 2(lg 2+2lg 5)+2lg 5=(lg 2)2+(lg 2)2+2lg 2lg 5+2lg
13、5=2(lg 2)2+2lg 2lg 5+2lg 5=2lg 2(lg 2+lg 5)+2lg 5=2lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.(2)原式=+lg 5+lg 2-2log23log32=+lg 10-2=-.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,求lg(ab)(logab+logba)的值.【解析】原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0,设t=lg x,则方程化为2t2-4t+1=0,所以t1+t2=2,t1t2=.又因为a,b是方程2(lg x)2-4lg x+1=0的两个实根,所以t1=lg a,t2=lg b,即lg a+lg b=2,lg alg b=.所以lg(ab)(logab+logba)=(lg a+lg b)+=(lg a+lg b)=(lg a+lg b)=2=12,即lg(ab)(logab+logba)=12.
