1、第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第2课时 分析法及其应用1了解分析法证明数学问题的格式、步骤(重点)2了解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题(难点)1分析法的定义从 _ 出 发，逐 步 寻 求 使 它 成 立 的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(_、_、_、_等)，这种证明方法叫做分析法2分析法的框图表示QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件要证明的结论充分条件已知条件定理定义公理1直接证明中最基本的两种证明方法是()A类比法和归纳法 B综合法和分析法C比较法和二分法D换元法和配方法解析：根据综合法和分析
2、法的定义可知，二者均为直接证明方法答案：B2要证明 3 72 5，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A综合法B分析法C反证法D归纳法答案：B3已知 f(x)a2x122x1是奇函数，那么实数 a 的值等于_解析：奇函数 f(x)在 x0 时有意义，则 f(0)0，f(0)a20122012a220，a1.答案：14设 A 12a 12b，B 2ab(a0，b0)，则 A，B 的大小关系为_解析：ABab2ab 2abab24ab2abab ab22abab0.答案：AB分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索
3、因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知分析法的书写形式一般为“因为，为了证明，只需证明，即，因此，只需证明，因为成立，所以，结论成立”分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)Pn2Pn1 Pn(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆分析法综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中进一步获得新的知识分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题的证明时，它可帮助我们构思应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既是对立的，又是统一的严格地讲，分析是为了综合，综合
4、又需根据分析，因而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法，有时甚至交错使用综合法与分析法的优点【想一想】综合法与分析法的主要区别是什么？提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻求的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻求的是充分条件应用分析法证明不等式设 a3，求证：a a1 a2 a3.思路探究本题主要考查利用分析法证明不等式，解答本题的关键是熟练掌握分析法的思考过程：要证原不等式成立只需两边平方整理 再两边平方 整理易得显然成立的不等式 原不等式成立自主解答a a1 a2 a3；只要证 a a3 a1 a2，即证(a a3)2(a1 a2)2，即 aa3
5、a1a2，即证 a(a3)(a1)(a2)，即证 02，02 显然成立，原不等式成立1对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法，其证明依据仍然是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论2用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式3用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语1已知 a0，1b1a1，求证：1a11b.证明：由1b1a1 及 a0 可知 0b1，要证 1a11b，只需证 1a 1b1，只需证 1abab1，只需证 abab0 即abab 1
6、，即1b1a1，这是已知条件，所以原不等式得证用分析法证明其他问题设 f(x)ax2bxc(a0)，若函数 f(x1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，求证 fx12为偶函数思路探究本题是分析法在函数中的应用，解答本题的关键是先分析 fx12为偶函数的条件，推出满足的条件或寻求结论成立的条件自主解答 证法一：要证 fx12为偶函数，只需证 fx12的对称轴为 x0，只需证 b2a120，只需证 ab.因为函数 f(x1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，即 x b2a1 与 x b2a关于 y 轴对称，所以 b2a1b2a，所以 ab，所以 fx12为偶函数证法二：要证 fx12是偶函数，
7、只需证 fx12fx12.因为 f(x1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，而 f(x)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，所以 f(x)f(x1)，fx12fx12fx121fx12，所以 fx12是偶函数1利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误2逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解2已知函数 f(x)lg（1x1），x0，12，若 x1，x2（0，12）且 x1x2.求证：12f(x1)f(x2)f（x1x22）.证明：要证12f(x1)f(x2)f（x1x22），只
8、需证：lg 1x11lg 1x212lg（2x1x21）只需证：（1x11）（1x21）（2x1x21）2.（1x11）（1x21）（2x1x21）2x1x221x1x2x1x2x1x22由于 x1，x2（0，12）且 x1x2，x1x221x1x2x1x2x1x220，即（1x11）（1x21）（2x1x21）2，12f(x1)f(x2)f（x1x22）.综合法和分析法的综合应用ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，A、B、C的对边分别为 a、b、c.求证：1ab 1bc3abc.思路探究条件与结论跨越较大，不易下手，可考虑用分析法证明；由于分析法是执果索因，逐步寻找成立的充分条件，因
9、此分析法的倒退过程就是综合法自主解答 分析法：要证 1ab 1bc3abc，即证abcab abcbc 3，也就是 cab abc1，只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证 c2a2acb2，又ABC 三内角 A、B、C 成等差数列，故 B60，由余弦定理，有b2c2a22accos 60，即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2 得证 1ab 1bc3abc综合法：证明：ABC 三内角 A、B、C 成等差数列，B60.由余弦定理，有 b2c2a22cacos 60，得 c2a2acb2，等式两边同时加上 abbc 得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，等式两边同除以(ab)(
10、bc)得，cab abc1，cab1 abc13，即 1ab 1bc3abc.1综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路2分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：其中 P 表示已知条件、定义、定理、公理等，Q 表示可证明的结论3已知 a，b 是正实数，求证：ab ba a b.证明：证法一(比较法)：ab ba a bbaa abb ab a bab a b2 a bab0，ab ba a b.证法二(分析法)：要证 ab ba a b，只
11、要证：a ab b ab(a b)即证(ab ab)(a b)ab(a b)即证 ab ab ab.也就是要证 ab2 ab.显然 ab2 ab成立，故 ab ba a b.证法三：(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式 x1x2(x0)使左边向整式型过渡)(方法一)：ab b ba a2ab b2ba a2 a2 b，当且仅当 ab 时取等号，ab ba a b.(方法二)：ab ba(a b)aba ab b ba ab2a ab b ba ab2 ab(a b)2，当且仅当 ab 时取等号，ab ba a b.1综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知2分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来点击进入WORD链接谢谢观看！