1、第一章 计数原理 1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质1掌握二项式系数的性质(重点)2会运用二项式系数的性质解决相关的问题(难点)1杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是_，与这两个1等距离的项的系数_。(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的_，即_.1相等和Crn1CrnCr1n2二项式系数的性质(1)对称性：在(ab)n 的展开式中，与_的两个二项式系数相等，即 C0nCnn，C1nCn1n，CrnCnrn.(2)增减性与最大值：当 kn12 时，二项式系数是逐渐_的由对称性知它的后半部分是逐渐_的，且在中间取得最大值当 n 是偶数时，
2、中间一项的二项式系数_取 得 最 大 值；当 n 是 奇 数 时，中 间 两 项 的 二 项 式 系 数_相等，且同时取得最大值首末两端“等距离”增大减小Cn2n Cn-12n,Cn+12n3二项式系数的和(1)C0nC1nC2nCnn_.(2)C0nC2nC4nC1nC3nC5n_.2n2n11(ab)7的各二项式系数的最大值为()A21 B35C34 D70解析：C7-12nC7+12nC3735.答案：B2在(ab)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是()A第15项 B第16项C第17项 D第18项解析：由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第1
3、6项答案：B3(12x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第_项解析：(12x)2n的展开式中共有2n1项，中间一项的系数最大，即第n1项答案：n14若 x21x3 n 展开式的各项系数之和为 32，则 n_，其展开式中的常数项为_(用数字作答)解析：令 x1，得 2n32，得 n5，则 Tr1Cr5(x2)5r1x3rCr5x105r，令 105r0，r2.故常数项为 T310.答案：5 10杨辉三角与二项式系数的性质1.解决与杨辉三角有关的问题的注意事项(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系后，再对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解
4、(2)注意二项式系数性质 Cmn Cnmn，Cmn1Cmn Cm1n的应用2对二项式系数性质的三点说明(1)对称性：源于组合数的性质“CmnCnmn”，基础是 C0nCnn1，然后从两端向中间靠拢，便有 C1nCn1n，C2nCn2n，.(2)最大值：当 n 是偶数时，(ab)n 的展开式共 n1 项，n1 是奇数，这时展开式的形式是中间一项是第n21 项，它的二项式系数是 Cn2n，它是所有二项式系数中的最大值；当 n 是奇数时，(ab)n 的展开式共有 n1 项，n1 是偶数，这时展开式的形式是中间两项是第 n12，n32 项，它们的二项式系数是 Cn12n，Cn12n 这两个系数相等，并
5、且是所有二项式系数中的最大值(3)各二项式系数和：C0nC1nC2nCnn2n 源于(ab)nC0nanC1nan1bCnnbn 中令 a1.b1，即得到 C0nC1nC2nCnn2n.【想一想】(1)根据杨辉三角的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？提示：对称性，因为 CmnCnmn.(2)计算 CknCk1n，并说明你得到的结论提示：CknCk1n nk1k.当 k1，说明二项式系数逐渐增大；同理 kn12，二项式系数逐渐减小如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn
6、，求S16的值与杨辉三角有关的问题思路探究 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可自主解答 由题意及杨辉三角的特点可得：S16(12)(33)(64)(105)(369)(C22C12)(C23C13)(C24C14)(C29C19)(C22C23C24C29)(239)C3108292164.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律(2)表达：将发现的规律用数学式子表达(3)结论：由数学表达式得出结论1如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数
7、的比为23.答案：34解析：由题可设第 n 行的第 14 个与第 15 个数的比为 23，故二项展开式的第 14 项和第 15 项的系数比为 23，即 C13n C14n 23，所以n！13！n13！n！14！n14！23，即14n1323，解得 n34.设(1 2x)2 016 a0 a1x a2x2 a2 016x2016(xR)(1)求a0a1a2a2 016的值(2)求a1a3a5a2 015的值(3)求|a0|a1|a2|a2 016|的值思路探究 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解求展开式的系数和自主解答(1)令 x1，得 a0a1a2a2 016(1)2 0161
8、.(2)令 x1，得 a0a1a2a2 01632 016.得 2(a1a3a2 015)132 016，a1a3a5a2 015132 0162.(3)Tr1Cr2 016(2x)r(1)rCr2 016(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 016|a0a1a2a3a2 01632 016.1本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式2“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x
9、1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差2已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展开式中x4的系数是35，则a1a2a3a7_.答案：1解析：(xm)7a0a1xa2x2a7x7，a0(m)7.又展开式中x4的系数是35，可得C47(m)335.m1.a0(m)71.在(xm)7a0a1xa2x2a7x7中，令x1时，由可得01a1a2a7.a1a2a3a71.二项式系数性质的应用 已知 f(x)(3 x23x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项思路探究 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(
10、或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去，包括“”、“”号自主解答令 x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920.(2n31)(2n32)0.2n31(舍去)，或 2n32.n5.(1)由于 n5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T3C25(x23)3(3x2)290 x6，T4C35x23 23x23270 x223.(2)展开式的通项公式为 Tr1Cr53rx23(52r)假设 Tr1 项系数最大，则有Cr53r
11、Cr15 3r1，Cr53rCr15 3r1，5！5r！r！35！6r！r1！.5！5r！r！5！4r！r1！3，3r 16r，15r 3r1.72r92，rN，r4.展开式中系数最大的项为 T5C45x23(3x2)4405x2631求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得3(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解：T6C5n(2x)5，T7C6n(2x)6，依题意有 C5n25C6n26n8.(12x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5C48(2x)41 120 x4.设第 r1 项系数最大，则有Cr82r Cr18 2r1，Cr82r Cr18 2r15r6.r5 或 r6.r0,1,2，8，系数最大的项为 T61 792x5，T71 792x6.二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察归纳猜想证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(八)谢谢观看！