1、第一章 计数原理 1.2.2 组合第1课时 组合与组合数公式1通过实例，理解组合的概念(重点)2明确组合与排列的区别与联系(重点)3能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实际问题(难点)并成排成1组合从n个不同元素中，任取m(mn)个元素_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，记作_.2组合与排列之间的异同组合与排列问题的共同点是都要“从n个不同元素中，任取m个元素(mn)”，不同点是前者“不管怎样的顺序_一组”，而后者要“按照一定顺序_一列”并成一组Cmn3组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示Cm
2、nAmnAmm_.这里m，nN*，并且mn，组合数公式可以用阶乘形式表示为Cmn_.规定：C0n1.nn1n2nm1m！n！m！nm！4组合数的性质(1)CmnCnmn；(2)Cmn1Cmn_.Cm1n1从4名同学中选出3人，参加一项活动，则不同的方法有()A3种 B4种C6种 D24种答案：B解析：从 4 名同学中选出 3 人，是从 4 个元素中选出 3 个元素的组合，所以方法数共有 C344 种答案：B2C2n10，则 n 的值为()A10 B5C3 D4解析：由题意得nn1210，解得 n5 或 n4(舍去)。解析：由组合数的性质知，x9或2000.答案：9或20003已知 Cx2009
3、C92009，则 x_.4计算 C28C38C29_.解析：由组合数性质知 CmnCm1nCmn1，C28C38C39C39C29C3101098321 120.答案：120对组合概念的三点说明(1)组合的特点组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求组合的概念(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合【想一想】(1)区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？提示：关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序
4、的是组合问题(2)“树形图”在解组合问题时，起到了什么作用？提示：利用“树形图”可以把组合问题直观化，形象化，具体化，起到了“数形结合”中“形”的作用，从而很容易不遗漏、不重复的写出所有的组合1.组合数公式的两种形式的适用范围组合数与组合数公式形式适用范围乘积式含具体数字的组合数的求值阶乘式含字母的组合数的有关变形及证明要注意性质 Cmn1CmnCm1n的顺用、逆用、变形用顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式Cm1nCmn1Cmn 的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用2组合数的两个性质及其关注点性质 1：CmnCnmn它反映了组合数的对称性若 mn2，
5、通常不直接计算 Cmn，而改为计算 Cnmn，这样可以减少计算量性质 2：Cmn1CmnCm1n特点是左端下标为 n1，右端下标都为 n，相差 1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少 1.3排列数与组合数的区别与联系排列数组合数定义从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的不同排列的个数从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的不同组合的个数乘积式 Amnn(n1)(nm1)Cmnnn1nm1m！公式阶乘式 Amnn！nm！Cmnn！m！nm！联系A mnCmnAmm【想一想】(1)一个组合与组合数有什么区别？提示：组合数与组合是两个不同的概念，根据定义，一个组合是具体的一件
6、事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数(2)在 Cmn中有 m，nN*，且 mn，为什么要规定 C0n1?提示：C0n1 是为了运算需要规定的，没有实际意义 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来(1)若已知集合1,2,3,4,5,6,7，则集合的子集中有3个元素的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)8人相互通电话一次，共通了多少次电话？(4)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？组合的概念的理解思路探究 明确组合、排列的定义是解题的关键，若问题是否与顺序有关不明显，则可以尝试
7、写出其中的一个结果进行判断自主解答(1)已知集合的元素具有无序性，因此含 3 个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有 C37个(2)因为发件人与收件人有顺序区别，与顺序有关是排列问题，共写了 A28个电子邮件(3)同时通电话，无顺序，是组合问题，共通了 C28次电话(4)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有 A24种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有 C24种票价1区分排列与组合是解答本题的关键2区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两
8、个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题1本例(1)中，若从已知集合中选取3个不同的元素，作为一元二次方程ax2bxc0的系数，可以得到多少个不同的一元二次方程？(结果用组合数、排列数表示)解：是排列问题选取的3个元素顺序不同时，得到不同的一元二次方程，共有(C371)A33个不同的一元二次方程2判断下列各事件是排列问题，还是组合问题(1)8支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)8支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？解：(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需
9、要考虑谁先谁后，没有顺序的区别(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的组合数公式及应用(1)计算 C410C37A33；(2)证明：mCmnnCm1n1.思路探究(1)选用组合数公式的乘积式，即 CmnAmnAmmnn1n2nm1m！.(2)有关组合数恒等式的证明，关键是化简，应先考虑利用组合数的阶乘式形式作答 自主解答 (1)解：原式C 410A 37109874321 7650.(2)证明：mCmnmn！m！nm！nn1！m1！nm！nn1！m1！nm！nCm1n1.关于组合数公式的选取技巧1 涉 及 具 体 数 字 的 可 以 直 接
10、 用Cmn nn1n2nm1m！进行计算2涉及字母的可以用阶乘式 Cmnn！m！nm！计算3计算时应注意利用组合数的性质 CmnCnmn简化运算3若 Cx29 C2x19，则 x()A1 B4C1 或 4 D1 或 5解析：Cx29C2x19，x22x1，或 x22x19，解得 x1(不合题意，舍去)，或 x4，x 的值是 4.答案：B组合数性质的应用(1)计算 C34C35C36C32 016的值为()AC42 017 BC52 017CC42 0171 DC52 0171(2)计算：C37C47C58C69_.(3)求证：Cnm2Cnm2Cn1m Cn2m.思路探究 1.解答本题(1)的关
11、键是添加一项 C44.2由组合数的性质知 C37C47C48.3应从右边开始，先把 2Cn1m 拆分为 2 个 Cn1m.答案：C自主解答(1)解析：C34C35C36C32 016C44C34C35C32 016C44C45C35C32 0161C42 016C32 0161C42 0171答案：210(2)解析：C37C47C58C69C48C58C69C59C69C610C410210(3)证明：由组合数的性质 Cmn1CmnCm1n可知，右边CnmCn1mCn1m Cn2mCnm1Cn1m1Cnm2左边右边左边，所以原式成立性质“CmnCnmn”的意义及作用4求值：C17n2nC3n13n解：由组合数公式的性质可得2n17n，13n3n，2nN*，17nN*，13nN*，3nN*解得 n6.所以原式C1112C1819C112C119121931.1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合如果两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合2组合数公式的两种形式的适用范围：(1)乘积式：含具体数字的组合数的求值；(2)阶乘式：含字母的组合数的有关变形及证明点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(五)谢谢观看！
