1、考点透析8 数 列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
2、（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）一、知识整合1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数
3、学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法二、方法技巧1判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：若 =+（n-1）d=+（n-k）d ，则为等差数列；若 ，则为等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列中,有关的最值问
4、题常用邻项变号法求解：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得。2在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意与之间关系的转化。如：= ， =4数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握
5、这两方面，就会迅速打通解题思路5解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略四典型考例【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题P49 例1 3。P50 例2 P56 例1 P59 T6【注1】文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题例（四川卷）数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。解：（）由可得，两式相减得又 故是首项为，公比为得等比数列 （）设的公比为 由得，
6、可得，可得故可设 又由题意可得 解得等差数列的各项为正， 1.设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式2(上海卷)设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式？（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？.解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048. 当n2时, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=
7、12n, Tn=(n2+23n). 由Tn,而n是正整数,于是,n46. 从第46项起Tn509.3. (全国卷) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（）求的通项；（）求的前n项和。解：（）由 得 即可得因为，所以 解得，因而 （）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和 前两式相减，得 即 【问题2】等差、等比数列的判定问题P53 T7 例P54 T9例P54 T9(上海卷)已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，
8、求的值(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a； 2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k).（3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.4例，已知数列中，是其前项和，并且，设数列，
9、求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径【注2】本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4
10、a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用【问题3】函数与数列的综合题 P51 例3数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.P51 例3（2006湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前
11、n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m
12、10，所以满足要求的最小正整数m为10.5设，定义，其中nN*.（1）求数列an的通项公式；（2）若，解：（1）2，数列an上首项为，公比为的等比数列，（2）两式相减得： 6（湖北卷）设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。解：（I）依题意得，即。当n2时，a;当n=1时，-21-1-61-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得成立的m必须满足，即m10,故满足要求的最小整数m为10。【问题4】数列与解
13、析几何数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解.例3在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列.求点的坐标；子设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。，=点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出. 7已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛
14、物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点（）令，求证：数列是等比数列并求数列的前项和为解：（1）因为、在抛物线上，故，又因为直线的斜率为，即，代入可得， 故是以为公比的等比数列；，【问题5】数列与算法8. 数列的前项和为=n2+2n-1,试用程序框图表示数列通项的过程,并写出数列的前5项和通项公式.9.根据流程图,(1)求;(2)若,求n. 【问题6】数列创新题10.（安徽卷）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。解：由得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）由，得
15、。而，11.（福建卷）已知数列an满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（）求当a为何值时a4=0；（）设数列bn满足b1=1, bn+1=，求证a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an； （I）解法一： 故a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an12. (全国卷III) 在等差数列中，公差的等比中项.已知数列成等比数列，求数列的通项解：由题意得：1分即3分又4分 又成等比数列,该数列的公比为，6分 所以8分又10分所以数列的通项为12分课后训练:一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1如果-1，a,
16、 b,c,-9成等比数列，那么Ab=3,ac=9B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-92在等差数列a中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于A.40 B.42 C.43 D.453（06广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A.5 B.4 C. 3 D. 24若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则A4 B2 C2 D45（06江西卷）已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.2016(文科做)在等比数列中,前项
17、和为,若数列也是等比数列,则等于A. B. C. D.7已知数列满足，则=（ ）A0BCD8（06全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则A. B. C. D.9已知等差数列an中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )A.18 B.27 C.36 D.4510（06天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（）A55 B70C85D100二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11设为等差数列的前n项和，14，S1030，则S9.12在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_.13.
18、已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0logm(ab)0 , anan1=5 (n2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3.17.（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得（III）证明：，得 即，得 即 是等差数列。18（山东卷）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3.()令()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。解：（I）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知，将以上各式相加得： （III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列.解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，又当且仅当时，数列是等差数列.