1、宁夏石嘴山市第三中学2019届高三12月月考数学（理）试题第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：P=x|x21，P=x|-1x1PM=PMPaP，-1a1考点：集合的运算。2.若复数为纯虚数，则实数的值为( )A. B. C. D. 或【答案】A【解析】试题分析：由题意可得，解得.考点：复数的定义.3.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由有，所以，即抛物线的焦点到准线的距离为，选D.4.“”是
2、“直线与直线垂直”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，可得两直线的斜率，验证两直线是否垂直，即充分性是否满足，然后根据两直线垂直可得，解方程验证必要性是否满足，即可得到答案【详解】当时，则两直线的斜率乘积为，即两直线垂直，故充分性满足，若两直线垂直，可得，解得或，所以不一定得，则必要性不满足故“”是“直线与直线垂直” 充分而不必要条件故选【点睛】本题以充要条件为载体考查了直线的垂直关系，解决问题的关键是熟练利用两直线垂直的条件，考查了推导能力，属于基础题。5.已知双曲线 的一个焦点在圆 上，则双曲线的渐
3、近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据双曲线方程表示出焦点坐标，利用焦点在圆x2+y2-4x-5=0上，代入圆的方程，可求得m的值，进而可求双曲线的渐近线方程.【详解】由题意，双曲线的焦点坐标为 ，且m0，又c3,结合圆的方程所以把代入圆x2+y2-4x-5=0得9+m-450m2-8m-128=0m=16双曲线的渐近线方程为 ,故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，涉及了点在圆上的应用，双曲线 ，的渐近线方程为.6.已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ ）A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B【解析】试题
4、分析：画出区域D如图所示，则为图中阴影部分对应的四边形上及其内部的点，又,所以当目标线过点时，,故选B.考点：线性规划7.过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.【详解】由题意得直线斜率存在，设为k，则直线：，由直线与圆有公共点得，从而倾斜角取值范围是，选D.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力.8.已知直线，平面且给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则. 其中正确的命题的个数是（ ）A. 1 B.
5、 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】试题分析：因为， ，所以，又因为，所以，所以正确；由， ，可得或，有，得不到，所以错误；，推不出，进而得不到，所以错误；因为 ，所以，又因为，所以，所以正确，故选择B考点：空间直线与平面的位置关系9.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，如，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：在中，已知，用表示另外两边可得 ， 。然后由椭圆定义可得，进而可求得。详解：在中， ， 。 由椭圆定义可得 即 所以 故选B。点睛：求圆锥曲线的离心率，应从条件得到关于的关系式。解题过程注意的关系。（1）直接根据题意建立的等式求解；（2）
6、借助平面几何关系建立的等式求解；（3）利用圆锥曲线的相关细则建立的等式求解；（4）运用数形结合建立的等式求解。10.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方形边长为，由此，故，解得.考点：向量运算11.设椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1F2是直角三角形，则PF1F2的面积为()A. 3 B. 3或 C. D. 6或3【答案】C【解析】【分析】根据题意分析PF1F2是直角三角形的几种情况，再结合椭圆的性质，求解三角形的面积.【详解】已知椭圆，可得c= ，故2c=2，当P点为椭圆的上顶点时，F1P
7、F2最大，根据椭圆的标准方程，易知F1PF290，F1PF2不可能是直角；若PF1F2是直角三角形,只可能是PF1x轴，或PF2x轴；故将x=1带入椭圆的标准方程可得，解得y= ，PF1F2的面积为 故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，涉及了椭圆的焦点三角形，考查了分类讨论的思想方法.12.已知函数，设，若，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先作出分段函数的图象，数形结合，得出使f（a）=f（b）的b与f（a）的范围，进而求得bf（a）的取值范围.【详解】由函数f（x）的解析式作出其图象，如图，因为函数f（x）在0，1）和1，+）上都是单调增函数，所
8、以，若满足ab0，时f（a）=f（b），必有b0，1），a1，+），结合图象可知，使f（a）=f（b）的b取值范围为 ，的取值范围是 ，可知bf（a）的取值范围为 ，故选D.【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的值域，涉及了指数函数的图象与性质；灵活应用数形结合的数学思想方法是解答本题的关键.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在数列中，为的前n项和 若，则_【答案】4【解析】【分析】根据等差数列的定义可知数列为等差数列，再利用等差数列的前n项和公式与通项公式求解即可.【详解】在数列中，可知数列是公差为1的等差数列，故 ，解得 ，故 故填：4【点睛】本题考查了根据定义
9、判断等差数列，考查了等差数列的基本量运算，涉及了等差数列的前n项和公式与通项公式.14.若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是_【答案】或 【解析】【分析】根据等比中项的概念求出n值，然后分别利用椭圆、双曲线的性质求解离心率.【详解】由n是2和8的等比中项，得 ，解得n= ，当n=4时，圆锥曲线是焦点在y轴上的椭圆，离心率为 ，当n= -4时，圆锥曲线是焦点在x轴上的双曲线，离心率为故填：或.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，考查了圆锥曲线的离心率的求法，涉及了等比中项的概念，考查了计算能力. 解题的关键是正确运用离心率公式.15.已知点P（0，1）是圆内一点，AB为过点P的弦，
10、且弦长为，则直线AB的方程为_【答案】x+y-1=0或x-y+1=0【解析】【分析】根据题意，可设直线方程y=kx+1，根据垂径定理和勾股定理构建方程，求解k的值，进而求得直线AB的方程.【详解】圆的标准方程为，可知圆心为（0，2）半径r=2，设直线方程为y-1=k（x-0），即y=kx+1，则弦心距 ，由 ，得，解得 ，故y=，整理得x+y-1=0或x-y+1=0故填：x+y-1=0或x-y+1=0.【点睛】本题考查了过圆内一点的弦的问题，考查了直线与圆的位置关系；涉及圆的弦长问题时，常利用垂径定理和勾股定理求解.16.过点（3,0）且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点坐标为_.【答案】 【解
11、析】【分析】根据点的坐标和直线斜率，列出直线方程，通过联立方程，得一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系和中点公式求解即可【详解】过点（3,0）且斜率为的直线方程为 ，即，联立椭圆方程 ，得 ，设直线与椭圆交点为，则，故所截线段的中点坐标为 ，故填：【点睛】本题考查了椭圆与直线相交所得弦的中点问题；求弦的中点时，常通过联立方程得一元二次方程，采用一元二次方程根与系数的关系和中点坐标公式求解.三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量与平行（1）求A；（2）若，b2，求ABC的面积【答案】（1）；（
12、2）【解析】试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值.试题解析：（1）因为mn，所以asinBbcosA0，由正弦定理得sinAsinBsinBcosA0，又sinB0，从而tanA，由于0A0，所以c3.故ABC的面积为bcsinA.考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.【此处有视频，请去附件查看】18.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值.【答案】（1）y28x.（2）0，或2.【解析】试题分
13、析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.试题解析： (1)直线AB的方程是y2（x-2），与y28x联立，消去y得x25x40，由根与系数的关系得x1x25.由抛物线定义得|AB|x1x2p9， (2)由x25x40，得x11，x24，从而A(1，2)，B(4，4)设(x3，y3)(1，2)(4，4)(41，42)， 又y8x3，即2(2
14、1)28(41)，即(21)241，解得0或2.【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，平面.（）设为线段的中点，求证：/平面；（）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】试题分析：（）思路一：先证明直线所在平面与平面平行，再根据
15、面面平行的定义说明直线与平面平行.取中点，连接，易证平面与平面平行，从而问题得证；思路二：利用线面平行的判定定理来证明，取中点，连接，易证四边形为平行四边形，则，从而问题可得证.（）根据题意，利用“坐标法”来解决，建立适当的空间直角坐标系，通过向量数量积的坐标运算，从而可得解.试题解析：（）证明：设线段的中点为，连接，. 在中，为中位线，故.又平面，平面，所以平面.在底面直角梯形中，且，故四边形为平行四边形，即.又平面，平面，所以平面.又因为平面，平面，且，所以平面平面.又平面，所以有平面.（）如图所示，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.设，则，.，设是平面的法向量，则，即，
16、可取，同理，设是平面的法向量，则，可取，从而.考点：1.空间立体几何中线面平行的证明；2.二面角的余弦；3.坐标法的应用.20.已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意可得： ，则椭圆方程为 (2)分类讨论：当轴时，当与轴不垂直时，设处直线的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得.试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为（2）设，当轴时，当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方
17、程，整理得 ， 当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当时，取得最大值，面积也取得最大值.21.已知函数 的最大值是0，函数 （）求实数的值；（）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（）；（）【解析】【分析】（）求出函数的导函数，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，得到关于m的方程，进而求出m的值；（）构造函数F（x）=f（x）-g（x），求出函数的导函数，进而求出的导函数，利用导数与函数单调性的关系，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，结合函数恒成立问题，进而求出a的取值范围.【详解】（）函数的定义域为 ,因为，所以在上单调递减. 令，得当时，单调递增；当时，单调递减；所以，当时
18、，=于是，得 ,易知，函数在处有唯一零点，所以，（）令，则,设则,当时，在上单调递减，则时，在上单调递减，故当时，与已知矛盾. 当时，当时，在上单调递减，则时，故在上单调递减，则当时，与已知矛盾. 当时，在上单调递增，则时，所以在上单调递增，故当时，恒成立综上，实数的取值范围是【点睛】本题考查了导数的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，转化思想，是一道综合题；在解题过程中注意定义域优先原则，求函数的单调性和最值问题，必须在函数定义域内进行.22.设函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）对任意，恒有，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题a=1时，根据，分段解不等式可得其解集；（2）由题意可得，易知，根据恒成立问题可得，解绝对值不等式可得结果试题解析：（1）当时，的解集为，又有，由题意恒成立得，解得，的取值范围为考点：绝对值不等式的解法；恒成立问题
