1、第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.2 离散型随机变量的方差1通过实例理解取有限值的离散型随机变量方差的概念(重点)2能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题(难点)1一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：Xx1x2xnPp1p2pn则称 D(X)_为 X 的_，称 XDX为_X 的方差的意义：反映了随机变量取值偏离于_的平均程度，刻画随机变量_ni1(xiE(X)2pi方差标准差均值离散程度(集中程度)的量例如：已知某离散型随机变量的分布列为：则a_，均值(数学期望)E()_，方差D()_.2一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么D(X)_3
2、一般地，随机变量与满足关系式ab，其中a，b为常数，则D()_4若B(n，p)，则D()_012Pa0.20.40.4 10.8 p(1p)a2D()np(1p)1甲、乙两个运动员射击命中环数、的分布列如下表其中射击比较稳定的运动员是()A甲 B乙C一样 D无法比较环数k8910P(k)0.30.20.5P(k)0.20.40.4解析：E()9.2，E()9.2E()，D()0.76，D()0.56D()，乙稳定答案：B2设 XB(n，p)，且 E(X)12，D(X)4，则 n 与 p 的值分别为()A18，13 B12，23C18，23 D12，13解析：由EX12DX4得np12，np1p
3、4，则 p23，n18.答案：C3设 的分布列为 P(k)Ck513k235k，(k0、1、2、3、4、5)，则 D(3)_.解析：由 的分布列知 B5，13，D()513113 109，D(3)9D()10.答案：104已知离散型随机变量 X 的概率分布列如下：Xai135P(Xai)0.5m0.2则其方差 DX 等于()A1 B0.6C2.44 D2.4解析：因为0.5m0.21，所以m0.3，所以EX10.530.350.22.4，DX(1 2.4)20.5(32.4)20.3(52.4)20.22.44.答案：C(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的(2)随机变量X
4、的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度对随机变量X的方差、标准差的五点说明(3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛(5)方差也可用公式D(X)E(X2)(E(X)2计算2随机变量的方差和样本方差之间的关系区别随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量联系对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差3.方差具有的性质当a，b均为常数时，随机变量ab的方差D()D(ab)a2D()特别地：(1)当a0时，D(b)0，即常数的方差
5、等于0.(2)当a1时，D(b)D()，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身(3)当b0时，D(a)a2D()，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积(4)当a，b均为非零常数时，随机变量ab的方差D()D(ab)a2D()证明公式：DXEX2EX2证明：D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn(x21p1X22p2x2npn)2E(X)(x1p1x2p2xnpn)(E(X)2(p1p2pn)E(X2)2(E(X)2(E(X)2E(X2)(E(X)2.利用公式 D(X)E(X2)(E(X)2 可以简化求方差的过程【想一
6、想】(1)数学期望与方差表示的含义相同吗？提示：不同数学期望是概率意义下的平均值，而方差体现了随机变量偏离于期望的平均程度(2)两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系设是一个离散型随机变量，其分布列如表所示：试求E()、D()思路探究 分布列中含有参数q，依据分布列的性质可确定q的值，然后按期望，方差的定义可求E()、D()求离散型随机变量的方差、标准差101P1212qq2自主解答 由于离散型随机变量的分布列满足：(1)Pi0(i1,2，)；(2)p1p21.故1212qq21，012q1，q21.
7、解之得q1 22.故的分布列为101P122132 2E()(1)120(21)132 2 1 2，D()1(1 2)212(1 2)2(21)1(12)232 2 21.1求离散型随机变量X的方差的一般步骤：2(1)已知分布列求方差，先求期望E(X)再代入方差公式求D(X)，计算量大要细致(2)分布列中含参数时，要先利用分布列的性质求出参数值，得出分布列(3)特殊分布的方差可直接按相应公式计算1已知离散型随机变量X1的概率分布为离散型随机变量X2的概率分布为求这两个随机变量的均值、方差与标准差X11234567 P17171717171717X23.73.83.944.14.24.3P171
8、71717171717解：E(X1)1172177174；D(X1)(14)217(24)217(74)2174；DX12.E(X2)3.7173.8174.3174；D(X2)(3.74)217(3.84)217(3.94)217(44)217(4.14)217(4.24)217(4.34)2170.04；DX20.2.已知的分布列为：(1)求方差及标准差；(2)设Y2E()，求D(Y)离散型随机变量的方差的性质及应用010205060P1325115215115思路探究(1)利用方差公式求解，首先求出均值E()，然后利用D()定义求方差；(2)由于E()是一个常数，所以D(Y)D(2E()
9、22D()自主解答(1)E()013102520 11550 21560 11516，D()(016)213(1016)225(2016)2 115(5016)2 215(6016)2 115384，D8 6.(2)Y2E()，D(Y)D(2E()22D()43841 536.1对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(ab)a2D()，这样处理既避免了求随机变量ab的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程2若B(n，p)，则D()np(1p)，若服从两点分布，则D()p(1p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程2已知随机变量X的分布列是试求D(X)
10、和D(2X1)X01234P0.20.20.30.20.1解：E(X)00.210.220.330.240.11.8.D(X)(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(41.8)20.11.56.对于D(2X1)，可用两种方法求解方法1：2X1的分布列如下表：2X111357P0.20.20.30.20.1 E(2X1)2.6.D(2X 1)(1 2.6)20.2 (1 2.6)20.2 (3 2.6)20.3(52.6)20.2(72.6)20.16.24.方法2：利用方差的性质D(aXb)a2D(X)D(X)1.56.D(2X1)4D(X)41.56
11、6.24.有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：方差的实际应用A110120125130135P0.10.20.40.10.2B100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，A，B分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)思路探究 要比较两种材料的稳定程度，需先比较其抗拉强度的期望，然后再看其方差值 自 主 解 答 E(A)1100.1 1200.2 1250.4 1300.11350.2125.E(B)1000.1 1150.2 1250.4 1300.1 1450
12、.2125.D(A)0.1(110125)20.2(120125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(135125)250.D(B)0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(145125)2165.由此可见，E(A)E(B)，D(A)D(B)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好1本题采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论2均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才
13、能准确地得出更恰当的判断3某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加为此，设计了一个挑选方案：选手从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题通过考察得知：6 道备选题中选手甲有 4 道题能够答对，2 道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响设选手甲、选手乙答对的题数分别为、.(1)写出 的概率分布列，并求出 E()、E()；(2)求 D()、D()，请你根据得到的数据提出建议，该单位应派哪个选手参加竞赛？解：(1)在 6 道题中，甲有 4 道题能答对，从中任选 3 题，选手甲答对题数 的取值为 1、2、3，P(1)C14C22C36 15，P(2
14、)C24C12C36 35，P(3)C34C3615，的概率分布列为123P153515所以 E()1152353152.在 6 道题中，选手乙答对每道题的概率都是23，故 B3，23，E()3232.(2)D()(12)215(22)235(32)21525，由B3，23，D()323123 23.可见，E()E()，D()D()，因此，建议该单位派甲参加竞赛1已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解2已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值和方差，可直接用均值、方差的性质求解，即E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)3如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十五)谢谢观看！