1、考纲解读 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义2能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数，并对导数的几何意义和物理意义做充分理解考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容预测 2020年高考将会涉及导数的运算及几何意义以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.基础知识过关 1.变化率与导数(1)平均变化率(2)导数2导数
2、的运算1概念辨析(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(3)曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线与过点 P(x0，y0)的切线相同()(4)函数 f(x)ex 的导数是 f(x)ex.()2小题热身(1)下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e；(log2x)1xln 2；(e1x)e1x；1ln x x.A1 B2 C3 D4答案 A答案 解析 中，(3x)3xln 3，错误；中，(log2x)1xln 2，正确；中，(e1x)e1x，错误；中，1ln x 0ln x1xln x2 1xln x2，错误，因
3、此求导运算正确的个数为 1.解析(2)有一机器人的运动方程为 st23t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为()A.194 B.174 C.154 D.134答案 D答案 解析 st23t 2t3t2，当 t2 时，s22322134，所以该机器人在 t2 时的瞬时速度为134.解析(3)函数f(x)x34x5的图象在x1处的切线在x轴上的截距为()A10 B5 C1 D37解析 f(x)x34x5，f(x)3x24，f(1)7，即切线的斜率为7，又f(1)10，故切点坐标为(1,10)，切线的方程为y107(x1)，当y0时，x37，切线在x轴上的截距为37.答
4、案 D答案 解析(4)曲线 ysinxx 在 x2处的切线方程为_解析 因为ysinxxxcosxsinxx2，当x2时，y2cos2sin222 42，答案 y 42x4答案 解析 所以曲线 ysinxx 在 x2处的切线方程为ysin22 42x2，整理得 y 42x4.解析 经典题型冲关 题型 一 导数的运算1(2019湖南十二校联考)若函数 f(x)ln xf(1)x23x4，则 f(1)_.解析 因为f(x)1x2f(1)x3，所以f(1)12f(1)3，解得f(1)2，所以f(1)1438.答案 8答案 解析 2求下列函数的导数：(1)y(2x21)(3x1)；(2)yxsin2x
5、cos2x；(3)yexcosx；(4)yln 2x1x.解(1)因为 y(2x21)(3x1)6x32x23x1，所以 y18x24x3.(2)因为 yxsin2xcos2x，所以 yx12sin4x，所以 y112cos4x412cos4x.(3)y(excosx)(ex)cosxex(cosx)excosxexsinxex(cosxsinx)答案(4)yln 2x1xln 2x1xxln 2x1x22x12x1xln 2x1x22x2x1ln 2x1x22x2x1ln 2x12x1x2.答案 1谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导2熟记求导函数
6、的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导3求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系注意内层函数通常为一次函数(2)由外向内逐层求导如举例说明 2(4)中对 ln(2x1)的求导 求下列函数的导数：(1)yln x1x；(2)ysinxx；(3)y(x22x1)e2x.解(1)yln x1x(ln x)1x 1x1x2.(2)ysinxx
7、sinxxsinxxx2xcosxsinxx2.答案(3)y(x22x1)e2x(x22x1)(e2x)(2x2)e2x(x22x1)(e2x)(3x2)e2x.答案 题型 二 导数的几何意义角度 1 求切线方程1过点(1，2)且与 yx33x 相切的直线方程为()Ay2 或 9x4y10By2C9x4y10Dy0 或 9x4y10答案 A答案 解析 y3x23，设切点坐标为(x0，x303x0)，此时在切点处的斜率为y|xx03x203，所以切线方程为 y(x303x0)(3x203)(xx0)，将点(1，2)代入切线方程，整理得 2x303x2010，即(x01)2(2x01)0，解得 x
8、01 或 x012，分别代入切线方程可得 y2 或 9x4y10.解析 2(2018全国卷)曲线 y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_解析 y 2x1，k 2012，所以切线方程为 y02(x0)，即 y2x.答案 y2x2答案 解析 角度 2 求切点坐标(多维探究)3(2019广州模拟)设函数 f(x)x3ax2，若曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 xy0，则点 P 的坐标为()A(0,0)B(1，1)C(1,1)D(1，1)或(1,1)答案 D答案 解析 f(x)(x3ax2)3x22ax，由题意得 f(x0)1，x0f(x0)0，所以3x202ax01，
9、x0 x30ax200，由知 x00，故可化为 1x20ax00，所以 ax01x20代入得 3x202(1x20)1，即 x201，解得 x01.当 x01 时，a2，f(x0)x30ax201；当 x01 时，a2，f(x0)x30ax201，所以点 P 的坐标为(1，1)或(1,1)解析 条件探究 在举例说明 3 中增加条件“a0”，若曲线 yf(x)在点 Q(x1，f(x1)处的切线与直线 x4y0 垂直，求点 Q 的坐标解 由举例说明 3 知 f(x)x32x2，f(x)3x24x.由题意得 f(x1)4，所以 3x214x14，解得 x12 或 x123，答案 f(2)(2)32(
10、2)20，f23 23322323227，所以点 Q 的坐标为(2,0)或23，3227.答案 角度 3 求参数的值(范围)4(2018成都诊断)若曲线 yf(x)ln xax2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是()A.12，B.12，C(0，)D0，)答案 D答案 解析 f(x)1x2ax2ax21x(x0)，根据题意有 f(x)0(x0)恒成立，所以 2ax210(x0)恒成立，即 2a1x2(x0)恒成立，所以 a0，故实数 a的取值范围为0，)解析 5直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1,3)，则 2ab_.解析 由题意知，yx3axb的导
11、数y3x2a，则13ab3，312ak，k13，由此解得k2，a1，b3，2ab1.答案 1答案 解析 求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线 yf(x)上一点 P(x0，y0)处的切线方程：点 P(x0，y0)为切点，切线斜率为 kf(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为 yy0f(x0)(xx0)如举例说明 2.(2)求“过”曲线 yf(x)上一点 P(x0，y0)的切线方程：切线经过点 P，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条如举例说明 1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：设切点 A(x1，y1)，则以 A 为切点的切线方程为 yy1f(
12、x1)(xx1)；根据题意知点 P(x0，y0)在切线上，点 A(x1，y1)在曲线 yf(x)上，得到方程组y1fx1，y0y1fx1x0 x1，求出切点 A(x1，y1)，代入方程 yy1f(x1)(xx1)，化简即得所求的切线方程 1曲线 f(x)2xex 与 y 轴的交点为 P，则曲线在点 P 处的切线方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10 解析 因为 f(0)20e01，所以点 P 的坐标为(0，1)因为 f(x)(2xex)2ex，所以 f(0)2e01，所以曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程为 y(1)1(x0)，整理得 xy10.故选 C.答案 C答案 解析
13、 2若曲线 y 12ex2 与曲线 yaln x 在它们的公共点 P(s，t)处具有公共切线，则实数 a()A1 B.12 C1 D2 答案 A答案 解析 y12ex2 xe，y(aln x)ax，由题意得 seas，t 12es2，taln s，解析 由得 s2ae 代入得 ta2.代入得a2aln s，s e，所以(e)2ae，a1.解析 3已知函数 f(x)e2x2exax1，曲线 yf(x)上存在两条斜率为 3 的切线，则实数 a 的取值范围为()A(3，)B.3，72C.，72D(0,3)解析 f(x)e2x2exax1 的导函数为 f(x)2e2x2exa，由题意可得 2e2x2e
14、xa3 的解有两个，即有ex12272a4，即为 ex12 72a2或ex12 72a2，即有 72a0 且 72a1，解得 3a72.答案 B答案 解析 高频考点 导数的几何意义及其应用考点分析 导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也可能出现在解答题中常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)确定切点坐标；(3)已知切线问题求参数；(4)切线的综合应用典例 1(2018全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x Byx Cy2x Dyx解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以 a10，解得
15、a1，所以 f(x)x3x，f(x)3x21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx，故选 D.答案 D答案 解析 典例 2 设函数 g(x)x352x23ln xb(bR)，若曲线 yg(x)在 x1处的切线过点(0，5)，则 b()A.72 B.52 C.32 D.12答案 B答案 解析 g(x)3x25x3x，则 g(1)11，又 g(1)72b，故曲线 yg(x)在 x1 处的切线方程为 y72b 11(x1)，由该切线过点(0，5)，得b52.解析 典例 3 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数
16、图象的一部分，则该函数的解析式为()Ay12x312x2xBy12x312x23xCy14x3xDy14x312x22x解析 设所求函数解析式为 f(x)ax3bx2cxd(a0)，则 f(x)3ax22bxc(a0)，由题意知f0d0，f28a4b2cd0，f0c1，f212a4bc3，答案 A答案 解析 解得 a12，b12，c1，d0，f(x)12x312x2x.解析 方法指导 1.一个核心要素,求切线方程的核心要素是切点的横坐标 x0，因为 x0 可“一点两代”，代入到原函数，即可得切点的纵坐标 fx0，代入到导函数中可得切线的斜率 fx0k.一点一斜率即可用点斜式写出切线的方程.2.一个易错点,在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点，“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论.