1、第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用2.2.3 独立重复试验与二项分布1理解n次独立重复试验的模型(重点)2理解二项分布(重点)3能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题(难点)1n次独立重复试验：一般地，在_条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验2在n次独立重复试验中，每次试验都是在_的条件下进行；每次试验的结果_；每次试验都只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且在任何一次试验中事件发生的概率都_相同相同相互独立相等3二项分布：一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A发生的_是 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复
2、试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(Xk)_，其中 k0、1、2、n.此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率次数Cknpk(1p)nk若 XB(n，p)，因为每个试验，只考虑有两个可能的结果A 及 A，且事件 A 发生的概率相同，都是 p.在相同条件下，重复做的 n 次试验，各次试验结果相互独立，事件 A 在 n 次试验中若发生 k 次，共有 Ckn种情况由试验的独立性知，A 在 k 次试验中发生，而在其余试验中都不发生的概率是 pk(1p)nk.而各种情况都互斥，所以由概率加法公式知，在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率
3、 Pn(k)_(k0、1、2、n)如果在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数记为，则 P(k)_.从而可得到 的分布列Cknpk(1p)nkCknpk(1p)nk01PC0np0(1p)nC1np1(1p)n1 knPCknpk(1p)nkCnnpn(1p)0由于 P(k)刚好是(1p)pn的展开式中的第_项，与二项式定理展开式有关系，所以称 服从二项分布，简记为 B(n，p)，它是离散型随机变量分布中一种相当重要和常见的概率分布4两点分布是一种特殊的二项分布，即当 n1 时的二项分布k11下列试验中，是独立重复试验的是()(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击
4、，击中目标的概率P是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中依次抽取5个球，恰好抽出4个白球；(4)口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中有放回的抽取5个球，恰好抽出4个白球A(1)、(2)、(3)B(2)、(3)、(4)C(2)、(4)D(3)、(4)解析：由独立重复试验的概念知(2)、(4)是独立重复试验答案：C2种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是_解析：由 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率公式可知这 5 棵树苗恰好成活 4 棵的概率为 C450.940.10.33答案：0.333口袋里放有
5、大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列an：an1 第n次摸取红球，1 第n次摸取白球，如果 Sn 为数列an的前 n 项和，那么 S73 的概率为_解析：由 S73 知，在 7 次摸球中有 2 次摸取红球，5 次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S73 的概率为 C27232135 28729.答案：287291.n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义独立重复试验与二项分布2两点分布与二项分布的区别两点分布二项分布区别只有两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发生在每次试验中只有两个结果，这两个结果是对立的，即要么发生，要么不发
6、生但在n次独立重复试验中共有n1个结果n次独立重复试验的概率公式的两种特殊情况kn 时，即在 n 次独立重复试验中事件 A 全部发生，概率为 Pn(n)CnnPn(1p)0pn.k0 时，即在 n 次独立重复试验中事件 A 没有发生，概率为 Pn(0)C0np0(1p)n(1p)n.二项分布与二项式定理的关联P(Xk)Cknpk(1p)nk(k0,1,2，n)，如果把 p 看作b,1p 看作 a，则有 ab1，则 Cknpk(1p)nk(k0,1,2，n)就是二项式定理中(ab)n 展开式的通项【想一想】(1)要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验则每次试验的前提是什么？提示：为了保证试验
7、的效果，需要每次试验的条件相同(2)两点分布与二项分布之间有怎样的关系？提示：两点分布是特殊的二项分布，即XB(n，p)中，当n1时，二项分布就是两点分布 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率独立重复试验中的概率问题思路探究 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不准确)，符合独立重复试验自主解答(1)记预报一次准确为事件 A，则 P(A)0.8.5次预报相当于 5 次独立重复试验，2 次准确的概率为 PC250.820
8、.230.051 20.05，因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0.05.(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有 1 次准确”，其概率为 PC05(0.2)5C150.80.240.006 720.01.所以所求概率为 1P10.010.99.所以 5 次预报中至少有 2 次准确的概率约为 0.99.(3)说明第 1,2,4,5 次中恰有 1 次准确所以概率为 PC140.80.230.80.02 0480.02，所以恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率约为 0.02.1解答该类问题，首先分析随机变量是否满足独立重复试验概型，再
9、利用公式求解，要抓住“恰有”“至少”等关键性字眼2独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式 P(Xk)Cknpk(1p)nk 计算更简单，注意 n，p，k 的意义1在图书室中只存放技术书和数学书，任一读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率为0.8，设每人只借一本书，有5名读者依次借书，求至多有2人借数学书的概率解：记一个读者借一本数学书为事件 A，借技术书为事件A，因此一个读者借一本书可看做是独立重复试验，其中 P(A)0.8，P(A)0.2，故所求概率为PC 050.800.25C 150.810.24C 250.820.23 0.057
10、9.即至多有 2 人借数学书的概率约为 0.057 9.二项分布 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班 3 名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数 X 的分布列思路探究 首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再计算离散型随机变量取各个值的概率.3 个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件发生的次数 X，故符合二项分布由题意：XB3，34所以 P(Xk)Ck334k143k，k0,1,2,3.分布列为X0123P16496427642764 解决二项分布问题的两个关键点：(1)对于公式 P(Xk)C
11、knpk(1p)nk(k0,1,2，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了 n 次2若某射手击中靶的概率为0.8，连续射击6次中，求击中靶的次数的分布列解：由于射手击中靶的概率为0.8，连续射击6次中，是独立重复试验，满足二项分布B(6,0.8)且P(i)C0.8i(10.8)6i(i0,1,2,3,4,5,6)，所以击中靶的次数分布列为0123456P0.0000640.0015360.015360.081920.245760.393
12、2160.262144 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min，且开动与否是相互独立的(1)现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大？(2)在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间大约是多少？思路探究 由题意知工作机床台数服从二项分布二项分布的综合应用自主解答 每台机床正常工作的概率为126015，而且每台机床分“工作”和“不工作”两种情况，所以工作机床台数B10，15，P(k)Ck1015k4510k(k0,1,2,3，10)，(1)50 kW 电力同时供给 5
13、台机床开动，因而 10 台机床同时开动的台数不超过 5 台时都可以正常工作这一事件的概率为 P(5)P(5)C0104510C11015459C210152458C310153457C410154456C5101554550.994.(2)在电力供应为50 kW的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0.006，从而在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间只有大约8600.0062.88(min)，这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响1本题的解答关键是判断随机变量服从二项分布2对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复
14、试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是AB还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解3实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率(2)求按比赛规则甲获胜的概率解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.(1)记事件 A“甲打完 3 局才能取胜”，记事件 B“甲打完 4 局才能取胜”，记事件 C“甲打完 5 局才能取胜”甲打完 3 局才能取
15、胜，相当于进行 3 次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜甲打完 3 局才能取胜的概率为 P(A)C3312318.甲打完 4 局才能取胜，相当于进行 4 次独立重复试验，且甲第 4 局比赛取胜，前 3 局为 2 胜 1 负甲打完 4 局才能取胜的概率为 P(B)C231221212 316.甲打完 5 局才能取胜，相当于进行 5 次独立重复试验，且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C)C2412212212 316.(2)记事件 D“按比赛规则甲获胜”，则 DABC，又因为事件 A、B、C 彼此互斥，故 P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)18 316 31612即按比赛规则甲获胜的概率为12.(1)独立重复试验概率求解的关注点：运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为 n 次独立重复试验，判断时可依据 n 次独立重复试验的特征解此类题常用到互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式(2)二项式(1p)pn 的展开式中，第 k1 项为 Tk1Ckn(1p)nkpk，可见 P(Xk)Cknpk(1p)nk 就是二项式(1p)pn的展开式中的第 k1 项，故此公式称为二项分布公式点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十三)谢谢观看！