1、复习课(三)不等式一元二次不等式一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体贯穿于高中数学的始终，更是高考的重点内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以小题形式出现，难度不大，但有时在解答题中与其它知识联系在一起，难度较大解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽(1)确定ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)在判别式0时解集的结构是关键在未确定a的取值情况下，应先分a0和a0两种情况进行讨论(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2bxc0的两个根
2、，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：对二次项系数与0的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论典例(1)已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，则不等式2x2bxa0的解集为()A.B.Cx|2x1 Dx|x1(2)解关于x的不等式ax22axa30.解析(1)由题意知x1，x2是方程ax2bx20的根由根与系数的关系得不等式2x2bxa0，即2x2x10.解得1x.答案A(2)解：当a0时，解集为R；当a0时，12a0，解
3、集为R；当a0时，12a0，方程ax22axa30的两根分别为，此时不等式的解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为R；a0时，不等式的解集为.类题通法解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集1若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m_.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax26xa20的一个根，即a2a60，解得a2或a3，当a2时，不等式ax26xa20的解集是(1,2)，符合要求；当a3时，不等式ax26xa24的解集为x|xb(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(ac
4、b)xbc4的解集为x|xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得解得(2)不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|2xc；当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|cx2；当c2时，不等式(x2)(xc)2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|cx2；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0，b0)，当且仅当ab时，等号成立；(2)a2b22ab，ab2(a，bR)，当且仅当ab时，等号成立；(3)
5、2(a，b同号且均不为零)，当且仅当ab时，等号成立；(4)a2(a0)，当且仅当a1时，等号成立；a2(a0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案(1)C(2)C类题通法条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值1若正数a，b满足1，则的最小值为()A3 B4C5 D6解析：选B依题意，因为1，(a1)(b1)1，因此2 4，当且仅当，即
6、a，b3时“”成立2设x，yR，且xy0，则的最小值为_解析：54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立答案：9绝对值不等式绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力1公式法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；|f(x)|g(x)g(x)f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解4对于不等
7、式恒成立求参数范围问题，常用分离参数法、更换主元法、数形结合法解决典例已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围解(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意当a0时，x，得a2.(2)法一：记h(x)f(x)2f，则h(x)所以|h(x)|1，因此k的取值范围是1，)法二：|2x1|2|x1|21，由k恒成立，可知k1，所以k的取值范围是1，)类题通法解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通
8、过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值1不等式|2x1|2|x1|0的解集为_解析：原不等式即|2x1|2|x1|，两端平方后解得12x3，即x.答案：2设关于x的不等式lg(|x3|x7|)a.(1)当a1时，解此不等式；(2)当a为何值时，此不等式的解集是R.解：(1)当a1时，lg(|x3|x7|)1，|x3|x7|10，或或x7或x3.所以不等式的解集为x|x3或x7(2)设f(x)|x3|x7|，则有f(x)|(x3)(x7)|10，当且仅当(x3)(x7)0，即3x7时，f(x)取得最小值10.lg(|x3|x7|)1.要使lg(|x3|x7|)a的解集为R，只要a1.1若0，则
9、下列不等式不正确的是()AababB.0Cabb2 Da2b2解析：选D由0，可得ba0，故选D.2已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab等于()A3 B1C1 D3解析：选A由题意：Ax|1x3，Bx|3x2ABx|1x2，由根与系数的关系可知：a1，b2，ab3.3函数y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：选Ax1，x10.yx1222（当且仅当x1，即x1时等号成立）4不等式|x2|x1|0的解集为()A. B.C. D.解析：选A不等式|x2|x1|0即|x2|x1|，平方化简可得 2x3，解得x，故选A.
10、5已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为()A5 B29C37 D49解析：选C由已知得平面区域为MNP内部及边界圆C与x轴相切，b1.显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点(6,1)处时，amax6.a2b2的最大值为621237.故选C.6设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1C. D3解析：选B由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，.又x，y，z为正实数，4，即1，当且仅当x2y时取等号，此时z2y2.221，当1，即y1时，上式有最大值1.7若x，y满足约束条件则的最大值为_
11、解析：画出可行域如图阴影部分所示，表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x，y)在点A处时最大由得A(1,3)的最大值为3.答案：38设正数a，使a2a20成立，若t0，则logat_loga(填“”“”“”或“0，所以a1，又a0，所以a1，因为t0，所以 ，所以logalogalogat.答案：9若实数x，y满足约束条件已知点(x，y)所表示的平面区域为三角形，则实数k的取值范围为_，又zx2y有最大值8，则实数k_.解析：作出一元二次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示要想点(x，y)所表示的平面区域为三角形，则B(2,2)必须在直线2xyk的右下方，即222k，则k
12、0，所以2n240n720，解得2n18.由nN知从第三年开始获利(2)年平均利润40216.当且仅当n6时取等号故此方案共获利61648144(万美元)，此时n6.f(n)2(n10)2128.当n10时，f(n)max128.故第种方案共获利12816144(万美元)，故比较两种方案，获利都是144万美元但第种方案只需6年，而第种方案需10年，故选择第种方案最合算12已知，是方程x2ax2b0的两根，且0,1，1,2，a，bR，求的最大值和最小值解：设f(x)x2ax2b，由题意f(x)在0,1和1,2上各有一个零点，即建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图由解得即C(3,1)令k，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率又B(1,0)，C(3,1)，则kAB，kAC，.故的最大值是，最小值是.